Log Cauchy分布的一个Hierarchical模型：LC=Gamma+Gamma+Unif

一个重要公式：Γ(z)Γ(1−z)=πsin⁡(πz)\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}Γ(z)Γ(1−z)=sin(πz)π
分层模型的证明

如果XXX服从对数柯西分布LC(0,π)LC(0,\pi)LC(0,π)，则它可以用下面的分层模型表示：
X∣Y,Z∼Gamma(Z,Y)Y∣Z∼Gamma(1−Z,1)Z∼Unif(0,1)\begin{aligned}X|Y,Z & \sim \text{Gamma}(Z,Y) \\ Y|Z & \sim \text{Gamma}(1-Z,1) \\ Z & \sim \text{Unif}(0,1)\end{aligned}X∣Y,ZY∣ZZ∼Gamma(Z,Y)∼Gamma(1−Z,1)∼Unif(0,1)

这篇博客记录一下这个分层模型的证明。

一个重要公式：Γ(z)Γ(1−z)=πsin⁡(πz)\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}Γ(z)Γ(1−z)=sin(πz)π

第一步 Beta函数的定义是
B(x,y)=∫0∞tx−1(1+t)x+ydt=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)\Beta(x,y)=\int_0^{\infty} \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}B(x,y)=∫0∞(1+t)x+ytx−1dt=Γ(x+y)Γ(x)Γ(y)

令x=z,y=1−zx=z,y=1-zx=z,y=1−z，则
Γ(z)Γ(1−z)=∫0∞tz−11+tdt\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\int_0^{\infty} \frac{t^{z-1}}{1+t}dtΓ(z)Γ(1−z)=∫0∞1+ttz−1dt

定义复变函数g(t)=tz−11+tg(t)=\frac{t^{z-1}}{1+t}g(t)=1+ttz−1

考虑上图所示的contour CCC，γ\gammaγ与Γ\GammaΓ是以−1-1−1为中心的圆，则
∫Cgdt=∫Γgdt+∫γgdt+∫0∞gdt−∫0∞(te2πi)z−11+tdt\int_{C} gdt=\int_{\Gamma}gdt+\int_{\gamma}gdt+\int_0^{\infty}gdt-\int_0^{\infty}\frac{(t e^{2\pi i})^{z-1}}{1+t}dt∫Cgdt=∫Γgdt+∫γgdt+∫0∞gdt−∫0∞1+t(te2πi)z−1dt

假设γ\gammaγ的半径非常小，Γ\GammaΓ的半径非常大，根据留数定理
∫Γgdt+∫γgdt=2πiRes(g;−1)−2πiRes(g;−1)=0∫Cgdt=2πiRes(g;−1)=2πieiπ(z−1)\int_{\Gamma}gdt+\int_{\gamma}gdt=2\pi iRes(g;-1)-2\pi iRes(g;-1)=0 \\ \int_C gdt = 2 \pi i Res(g;-1)=2\pi i e^{i \pi (z-1)}∫Γgdt+∫γgdt=2πiRes(g;−1)−2πiRes(g;−1)=0∫Cgdt=2πiRes(g;−1)=2πieiπ(z−1)

所以
[1−ei2π(z−1)]∫0+∞gdt=2πieiπ(z−1)∫0+∞gdt=πsin⁡(πz)[1-e^{i2 \pi (z-1)}]\int_0^{+\infty}gdt=2\pi i e^{i \pi (z-1)} \\ \int_0^{+\infty}gdt=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}[1−ei2π(z−1)]∫0+∞gdt=2πieiπ(z−1)∫0+∞gdt=sin(πz)π

分层模型的证明

f(x,y,z)=yzxz−1Γ(z)e−xyy−zΓ(1−z)e−y=xz−1e−(x+1)yΓ(z)Γ(1−z)f(x,y,z)=\frac{y^zx^{z-1}}{\Gamma(z)}e^{-xy} \frac{y^{-z}}{\Gamma(1-z)}e^{-y}=\frac{x^{z-1}e^{-(x+1)y}}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}f(x,y,z)=Γ(z)yzxz−1e−xyΓ(1−z)y−ze−y=Γ(z)Γ(1−z)xz−1e−(x+1)y

其中Γ(z)Γ(1−z)=πsin⁡(πz)\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}Γ(z)Γ(1−z)=sin(πz)π

于是联合密度为
f(x,y,z)=xz−1e−(x+1)ysin⁡(πz)πf(x,y,z)=\frac{x^{z-1}e^{-(x+1)y}\sin(\pi z)}{\pi}f(x,y,z)=πxz−1e−(x+1)ysin(πz)

下面计算积分：
f(x,z)=∫0+∞xz−1e−(x+1)ysin⁡(πz)πdy=xzsin⁡(πz)πx(x+1)f(x)=∫01xzsin⁡(πz)πx(x+1)dz=1πx(x+1)π(x+1)π2+ln⁡2(x)=1x1π2+ln⁡2(x)\begin{aligned} f(x,z) & = \int_0^{+\infty} \frac{x^{z-1}e^{-(x+1)y}\sin(\pi z)}{\pi} dy = \frac{x^z \sin (\pi z)}{\pi x(x+1)} \\ f(x) & = \int_0^1\frac{x^z \sin (\pi z)}{\pi x(x+1)} dz = \frac{1}{\pi x(x+1)} \frac{\pi(x+1)}{\pi^2+\ln^2(x)} \\ & = \frac{1}{x} \frac{1}{\pi^2+\ln^2(x)} \end{aligned}f(x,z)f(x)=∫0+∞πxz−1e−(x+1)ysin(πz)dy=πx(x+1)xzsin(πz)=∫01πx(x+1)xzsin(πz)dz=πx(x+1)1π2+ln2(x)π(x+1)=x1π2+ln2(x)1

这正好是LC(0,π)LC(0,\pi)LC(0,π)的密度。

最后一步需要用到积分
∫01xzsin⁡(πz)dz=π(x+1)π2+ln⁡2(x)\int_0^1 x^z \sin(\pi z)dz = \frac{\pi(x+1)}{\pi^2+\ln^2(x)}∫01xzsin(πz)dz=π2+ln2(x)π(x+1)