雷达原理---时频分析--3.小波变换-3.1基础知识

文章目录

一、短时傅里叶变换的缺陷
二、小波变换的优点
三、小波变换和傅里叶变换的比较
四、小波变换的基础知识（Wavelet Transform,WT）
- 1. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform,CWT）
- - 1.1 定义
  - 1.2 基本性质
  - - 性质1：叠加性
    - 性质2：时移不变性
    - 性质3：尺度变换
    - 性质4：内积定理
  - 1.3 常用的连续小波基函数
  - - 1.3.1 `Morlet小波`
    - 1.3.2 `Mexican hat小波`
- 2. 离散小波变换（Discrete Wavelet Transform,DWT）
- 3. 正交小波变换
- - 3.1 多尺度分析
  - 3.2 Mallat算法
  - 3.3 常用的正交小波基函数
- 4. 小波包（Wavelet Packet）
- - 4.1 原理
  - 4.2 分解过程

一、短时傅里叶变换的缺陷

窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低；宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。

对于时变的非平稳信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

二、小波变换的优点

小波的优点，其实就是上面傅立叶缺点的解决：

对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题，如果我们让窗口的大小可以改变，不就完美了吗？答案是肯定的，小波就是基于这个思路。但是不同的是，STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。小波直接把傅里叶变换的基给换了—将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了。

这个基函数会伸缩、会平移（其实是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

三、小波变换和傅里叶变换的比较

傅里叶变换的实质是把能量有限的信号f(t)f(t)f(t)分解到以ejωt{e^{j\omega t}}ejωt为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限的信号f(t)f(t)f(t)分解到以W−j(j=1,2,⋯,J)W_{-j}(j=1,2,\cdots,J)W−j(j=1,2,⋯,J)和V−jV_{-j}V−j所构成的空间上去。
傅里叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),ejωtsin(\omega t),cos(\omega t),e^{j\omega t}sin(ωt),cos(ωt),ejωt，具有唯一性；小波分析所用到的小波函数则不是唯一的，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题，也是分析研究的一个热点问题，目前往往是通过经验和不断的试验，将不同的分析结果进行对照分析来选择小波函数。
在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，无法从信号f(t)f(t)f(t)的傅里叶变换F(ω)F(\omega)F(ω)中看出f(t)f(t)f(t)在任一时间点附近的特性。
在小波分析中，尺度α\alphaα越大相当于傅里叶变换中的ω\omegaω值越小。
在短时傅里叶变换中，变换系数Gf(ω,τ)G_f(\omega,\tau)Gf(ω,τ)主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，则分辨率也就固定了。而在小波变换中，变换系数WTx(α,τ)WT_x(\alpha,\tau)WTx(α,τ)虽然也是依赖于信号在时间窗内的情况，但时间尺度是随尺度α\alphaα的变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析的能力。
若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽Δω\Delta \omegaΔω与中心频率ω\omegaω无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽Δω\Delta \omegaΔω则正比于中心频率ω\omegaω，即
Q=Δωω=CC为常数Q=\frac{\Delta \omega}{\omega}=C \qquad C为常数Q=ωΔω=CC为常数
也就是说，这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽恒定的特点，称之为等QQQ结构。

四、小波变换的基础知识（Wavelet Transform,WT）

小波变换具有多分辨特性，也叫多尺度特性，可以由粗到精地逐步观察信号，也可以看成是用一组带通滤波器对信号作滤波。通过适当地选择尺度因子和平移因子，可得到一个伸缩窗，只要适当选择小波基，就可以使小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，有利于检测信号的瞬态和奇异点。

1. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform,CWT）

1.1 定义

将任意L2(R)L^2(R)L2(R)空间（表示为可测量的、模平方可积分的一维函数空间）中的函数z(t)z(t)z(t)在小波基φ(t)\varphi(t)φ(t)下进行展开，称作函数z(t)z(t)z(t)的连续小波变换（CWT），其表达式为
WTz(a,b)=<z(t),φa,b(t)>=1a∫Rz(t)φ(t−ba)dtWT_z(a,b)=<z(t),\varphi_{a,b}(t)>=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_Rz(t)\varphi(\frac{t-b}{a})\,dtWTz(a,b)=<z(t),φa,b(t)>=a1∫Rz(t)φ(at−b)dt
式中，a>0a>0a>0，称为尺度因子（在某种意义下就是频率的概念），其作用是对小波基函数作伸缩，bbb反映位移，其值可正可负，aaa和bbb都是连续的变量。

在不同尺度下小波的持续时间随值的增大而增宽，幅度则与a\sqrt{a}a反比减少，但波的形状保持不变。

由连续小波变换的定义可知，小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换，称WTz(a,b)WT_z(a,b)WTz(a,b)为小波变换系数。由于小波基不同于傅里叶基，因此小波变换与傅里叶变换有很大的不同，其中最重要的是，小波基具有尺度aaa和平移bbb两个参数。

根据时频分析的要求，构造的小波基函数φ(t)\varphi(t)φ(t)应该满足以下条件：

本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；(具有有限的持续时间和突变的频率和振幅)
本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含直流趋势成分，（在有限时间范围内平均值为0）即
Ψ(0)=∫−∞∞φ(t)dt=0\Psi(0)=\int_{-∞}^{∞}\varphi(t)\,dt=0Ψ(0)=∫−∞∞φ(t)dt=0
式中Ψ(f)\Psi(f)Ψ(f)是函数φ(t)\varphi(t)φ(t)的傅里叶变换。
包含尺度参数a(a>0)a(a>0)a(a>0)和平移参数bbb
aaa增大，则时窗伸展，频宽收缩，带宽变窄，中心频率降低，而频率分辨率增高；aaa减小则带宽增加，中心频率升高，时间分辨率增高而频率分辨率降低。这恰恰符合实际问题中高频信号持续时间短、低频信号持续时间长的自然规律。因此，同固定时窗的短时傅里叶变换相比，小波变换在时频分析领域具有不可比拟的优点。

如果采用的小波满足下式，则其反变换存在
Cφ=∫R∣Ψ(ω)∣2∣ω∣dω<∞C_\varphi=\int_R\frac{|\Psi(\omega)|^2}{|\omega|}\,d\omega<∞Cφ=∫R∣ω∣∣Ψ(ω)∣2dω<∞
且连续小波变换的反变换表达式为
x(t)=1∫0∞∣Ψ(aω)∣adω∫0∞daa2∫−∞∞WTz(a,b)1aφ(t−ba)dbx(t)=\frac{1}{\int_{0}^{∞}\frac{|\Psi(a\omega)|}{a}\,d\omega}\int_{0}^{∞}\frac{da}{a^2}\int_{-∞}^{∞}WT_z(a,b)\frac{1}{\sqrt{a}}\varphi(\frac{t-b}{a})\,dbx(t)=∫0∞a∣Ψ(aω)∣dω1∫0∞a2da∫−∞∞WTz(a,b)a1φ(at−b)db

1.2 基本性质

连续小波变换是一种线性变换，具有以下性质：

性质1：叠加性

假设x(t),y(t)∈L2(R)x(t),y(t)∈L^2(R)x(t),y(t)∈L2(R)空间，λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2为任意常数，记x(t)x(t)x(t)的连续小波变换为WTx(a,b)WT_x(a,b)WTx(a,b)，y(t)y(t)y(t)的连续小波变换为WTy(a,b)WT_y(a,b)WTy(a,b)，则z(t)=λ1x(t)+λ2y(t)z(t)=\lambda_1x(t)+\lambda_2y(t)z(t)=λ1x(t)+λ2y(t)的连续小波变换为
WTz(a,b)=λ1WTx(a,b)+λ2WTy(a,b)WT_z(a,b)=\lambda_1WT_x(a,b)+\lambda_2WT_y(a,b)WTz(a,b)=λ1WTx(a,b)+λ2WTy(a,b)

性质2：时移不变性

记x(t)x(t)x(t)的连续小波变换为WTx(a,b)WT_x(a,b)WTx(a,b)，则x′(t)=x(t−t0)x'(t)=x(t-t_0)x′(t)=x(t−t0)的连续小波变换为
WTx′(a,b)=WTx(a,b−t0)WT_{x'}(a,b)=WT_x(a,b-t_0)WTx′(a,b)=WTx(a,b−t0)
表明：延时后的信号的小波系数可将原信号的小波系数在b轴上进行相应时移即可。

性质3：尺度变换

记x(t)x(t)x(t)的连续小波变换为WTx(a,b)WT_x(a,b)WTx(a,b)，则x′(t)=x(tρ)x'(t)=x(\frac{t}{ρ})x′(t)=x(ρt)（ρ>0ρ>0ρ>0为常数）的连续小波变换为
WTx′(a,b)=ρWTx(aρ,bρ)WT_{x'}(a,b)=\sqrt{ρ}WT_x(\frac{a}{ρ},\frac{b}{ρ})WTx′(a,b)=ρWTx(ρa,ρb)
表明：当信号在时域作某一倍数伸缩时，其小波变换在a,b两轴上也作同一倍数伸缩，且形状不变。

性质4：内积定理

假设x(t),y(t)∈L2(R)x(t),y(t)∈L^2(R)x(t),y(t)∈L2(R)空间，记x(t)x(t)x(t)的连续小波变换为WTx(a,b)WT_x(a,b)WTx(a,b)，y(t)y(t)y(t)的连续小波变换为WTy(a,b)WT_y(a,b)WTy(a,b)，则有
<WTx(a,b),WTy(a,b)>=Cφ<x(t),y(t)><WT_x(a,b),WT_y(a,b)>=C_\varphi<x(t),y(t)><WTx(a,b),WTy(a,b)>=Cφ<x(t),y(t)>
式中CφC_\varphiCφ是φ(t)\varphi(t)φ(t)的Cohen类时频分布，<⋅\cdot⋅>表示内积运算。

1.3 常用的连续小波基函数

1.3.1 `Morlet小波`

时域表达式：φ(t)=e−t2/2ejw0t,w0≥5\varphi(t)=e^{-t^2/2}e^{jw_0t},w_0≥5φ(t)=e−t2/2ejw0t,w0≥5
频域表达式：Ψ(w)=2πe−(w−w0)22\Psi(w)=\sqrt{2\pi}e^{-\frac{(w-w_0)^2}{2}}Ψ(w)=2πe−2(w−w0)2

Morlet小波是一种复数小波，其在时、频域都具有较好的局部性，常用于复数信号的分解及时频分析中。

%%********** Morlet 小波函数 *********%%
% 这里仅画出实部波形，且w0=5
lb = -8; ub = 8; n = 200;
[psi,xval] = morlet(lb,ub,n);
PSI=fftshift(abs(fft(psi)));
figure;
subplot(2,1,1); plot(xval,psi); title('Morlet Wavelet时域波形');
subplot(2,1,2); plot(PSI);      title('Morlet Wavelet频域波形');

1.3.2 `Mexican hat小波`

时域表达式：φ(t)=(1−t2)e−t2/2\varphi(t)=(1-t^2)e^{-t^2/2}φ(t)=(1−t2)e−t2/2
频域表达式：Ψ(w)=2πw2e−w22\Psi(w)=\sqrt{2\pi}w^2e^{-\frac{w^2}{2}}Ψ(w)=2πw2e−2w2

Mexican hat小波实际上是高斯函数的二阶导数，在时、频域都具有较好的局部性。

%%********** Mexican hat 小波函数 *********%%
lb = -8; ub = 8; n = 200;
[psi,xval] = mexihat(lb,ub,n);
PSI=fftshift(abs(fft(psi)));
figure;
subplot(2,1,1); plot(xval,psi);  title('Mexican Hat Wavelet时域波形');
subplot(2,1,2); plot(PSI);       title('Mexican Hat Wavelet频域波形');

2. 离散小波变换（Discrete Wavelet Transform,DWT）

根据连续小波变换的定义可知，在连续变化的尺度aaa和时间bbb值下，小波基函数具有很大的相关性，因此信号的连续小波变换系数的信息量是冗余的。

减小小波变换系数冗余度的方法是将小波基函数φa,b(t)\varphi_{a,b}(t)φa,b(t)的a,ba,ba,b限定在一些离散点上取值，常用的离散化方法是将尺度按幂级数进行离散化，即取am=a0ma_m=a_0^mam=a0m（mmm为整数，a0≠1a_0≠1a0=1,一般取a0=2a_0=2a0=2），对bbb进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴（为了不丢失信息，要求满足采样定理），这样小波基函数变为
φm,n(t)=2−m/2φ(2−mt−n)\varphi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\varphi(2^{-m}t-n)φm,n(t)=2−m/2φ(2−mt−n)
因此任意函数z(t)z(t)z(t)的离散小波变换为
WTz(m,n)=<z(t),φm,n(t)>=2−m/2∫Rz(t)φ(2−mt−n)dtWT_z(m,n)=<z(t),\varphi_{m,n}(t)>=2^{-m/2}\int_Rz(t)\varphi(2^{-m}t-n)\,dtWTz(m,n)=<z(t),φm,n(t)>=2−m/2∫Rz(t)φ(2−mt−n)dt

在离散小波中，还有一类特殊情况，即仅在尺度上进行了二进制离散，而位移仍连续变化，称之为二进小波(Dyadic Wavelet)，其表达式为
φ2k,b(t)=2−k/2φ(t−b2k)\varphi_{2^k,b}(t)=2^{-k/2}\varphi(\frac{t-b}{2^k})φ2k,b(t)=2−k/2φ(2kt−b)
离散小波变换不再具有伸缩和时移共变性质；二进小波介于连续小波和离散小波之间，仍具有连续小波变换的时移共变性质，正因为如此，它在奇异性检测、图像处理方面十分有用。

3. 正交小波变换

3.1 多尺度分析

从小波函数的条件来看，小波基不一定是正交基，但是在实际应用中希望找到正交小波基。构造正交小波基的重要方法称之为多尺度分析。

根据信号空间的概念，由尺度函数ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)可以定义其对应的小波函数ψ(t)\psi(t)ψ(t)，再由小波函数经过尺度伸缩与平移得到小波信号ψm,n(t)\psi_{m,n}(t)ψm,n(t)，即
ϕ(t)⟹ψ(t)⟹ψm,n(t)ψm,n(t)=2m/2ψ(2mt−n)m,n∈Z\phi(t)\Longrightarrow \psi(t)\Longrightarrow \psi_{m,n}(t) \\ \qquad \\ {\color{blue} \psi_{m,n}(t)=2^{m/2}\psi(2^{m}t-n) \qquad m,n∈Z} ϕ(t)⟹ψ(t)⟹ψm,n(t)ψm,n(t)=2m/2ψ(2mt−n)m,n∈Z

小波信号ψm,n(t){\color{Tomato}\psi_{m,n}(t)}ψm,n(t)设计为尺度信号ϕm,n(t){\color{Green}\phi_{m,n}(t)}ϕm,n(t)的正交信号，即存在
<ϕm,n(t),ψm,n(t)>=∫ϕm,n(t)⋅ψm,n(t)dt=0<\phi_{m,n}(t),\psi_{m,n}(t)>=\int \phi_{m,n}(t)\cdot\psi_{m,n}(t)\,dt=0<ϕm,n(t),ψm,n(t)>=∫ϕm,n(t)⋅ψm,n(t)dt=0

多尺度分析是通过函数空间术语来严格定义的，假设L2(R)L^2(R)L2(R)空间内的子空间序列Vm(m∈Z)V_m(m∈Z)Vm(m∈Z)满足以下条件：

（嵌套性）⋯V2⊂V1⊂⋯⊂V−2⊂⋯;\cdots V_2\subset V_1\subset\cdots\subset V_{-2}\subset\cdots;⋯V2⊂V1⊂⋯⊂V−2⊂⋯;
（逼近性）⋂m∈ZVm={0}，⋃m∈ZVm=L2(R);\bigcap_{m∈Z} V_m=\{0\}，\bigcup_{m∈Z} V_m=L^2(R);⋂m∈ZVm={0}，⋃m∈ZVm=L2(R);
（二进制伸缩性）f(t)∈Vm⇔f(2t)∈Vm−1f(t)∈V_m\Leftrightarrow f(2t)∈V_{m-1}f(t)∈Vm⇔f(2t)∈Vm−1
Vm=span{ϕm,n(t),n∈Z}V_{\color{Red}m}=span\{\phi_{{\color{Red}m},n}(t),n∈Z\}Vm=span{ϕm,n(t),n∈Z}，即任一级子空间可由相应尺度的同一函数通过平移张成；
Vm−1=Vm⊕WmV_{m-1}=V_m\oplus W_mVm−1=Vm⊕Wm，即任一级子空间可由下一级子空间以及它的正交补空间相加而成，序列WmW_mWm相互之间无重叠，是正交系。

这样，我们称子空间序列Vm,WmV_m,W_mVm,Wm为函数空间L2(R)L^2(R)L2(R)上的一个多尺度分析，其中ϕm,n\phi_{m,n}ϕm,n称为尺度函数，m,n分别是尺度和平移参数。

由以上定义可得
V0=Vm⊕∑i=1mWi(3.1.1)V_{0}=V_m\oplus \sum_{i=1}^{m}W_i \tag{3.1.1}V0=Vm⊕i=1∑mWi(3.1.1)
特别地，当尺度趋于无穷时，上式变为
L2(R)=∑i=−∞∞Wi(3.1.2)L^2(R)=\sum_{i=-∞}^{∞}W_i \tag{3.1.2}L2(R)=i=−∞∑∞Wi(3.1.2)
存在与ϕm,n\phi_{m,n}ϕm,n相应的函数ψm,n\psi_{m,n}ψm,n通过平移能够张成WmW_mWm。
Wm=span{ψm,n(t)}(3.1.3)W_m=span\{\psi_{m,n}(t)\} \tag{3.1.3}Wm=span{ψm,n(t)}(3.1.3)
ψm,n\psi_{m,n}ψm,n就是所求的小波基，它在伸缩和平移变换下都是正交的。

3.2 Mallat算法

多尺度分析在信号分析中的应用可以用式(3.1)来表达

对于任意函数f(t)∈V0f(t)∈V_0f(t)∈V0，可以在下一级尺度空间V1V_1V1和小波空间W1W_1W1上进行分解，如下所示：
f(t)=p1f(t)+q1f(t)f(t)=p_1f(t)+q_1f(t)f(t)=p1f(t)+q1f(t)
式中p1f(t)=∑kC1kϕ1,kp_1f(t)=\sum_{k}C_{1k}\phi_{1,k}p1f(t)=∑kC1kϕ1,k，q1f(t)=∑kD1kψ1,kq_1f(t)=\sum_{k}D_{1k}\psi_{1,k}q1f(t)=∑kD1kψ1,k。

p1f(t)p_1f(t)p1f(t)是逼近部分，q1f(t)q_1f(t)q1f(t)是细节部分。然后将逼近部分进一步分解，如此重复就可得到任意尺度上的逼近部分和细节部分，迭代公式为
pm−1f(t)=pmf(t)+qmf(t)=∑kCmkϕm,k+Dmkψm,kp_{m-1}f(t)=p_mf(t)+q_mf(t)=\sum_{k}C_{mk}\phi_{m,k}+D_{mk}\psi_{m,k}pm−1f(t)=pmf(t)+qmf(t)=k∑Cmkϕm,k+Dmkψm,k
式中Cm=HCm−1C_m=HC_{m-1}Cm=HCm−1，Dm=GCm−1D_m=GC_{m-1}Dm=GCm−1，H是低通滤波器。每一次分解，pmf(t)p_mf(t)pmf(t)的采样都比原来稀疏两倍，采样率越来越粗，波形越来越光滑；G是H的镜像高通滤波器，带宽每次也以两倍缩减。

经过m次分解，得到
f(t)=pmf(t)+∑j=1mqjf(t)f(t)=p_mf(t)+\sum_{j=1}^{m}q_jf(t)f(t)=pmf(t)+j=1∑mqjf(t)
式中pmf(t)p_mf(t)pmf(t)给出的是函数f(t)f(t)f(t)的低频全局信息，第二次是逐次分解中分离的从V0V_0V0到Vm−1V_{m-1}Vm−1各个尺度上f(t)f(t)f(t)的相应局部细节信息。上述信号分解过程称之为Mallat算法。

其过程如图所示：

3.3 常用的正交小波基函数

常用的正交小波基有Haar小波、Meyer小波、Daubechies小波。

Haar小波

%%********** Haar 小波函数 **********%%
[phi,psi,xval]=wavefun('haar',20);
figure;
subplot(2,1,1); plot(xval,psi); title('Harr Wavelet Function');
subplot(2,1,2); plot(xval,phi); title('Harr Scaling Function');

Meyer小波
Daubechies 小波

4. 小波包（Wavelet Packet）

4.1 原理

在多尺度分析中，每一步分解都只是对尺度子空间ViV_iVi进行，对子空间WiW_iWi则不再分解，因此高频跨度较宽。实际中，在很多问题中，我们只是对某些特定时间和频域段(点)的信号感兴趣，只要提取这些位置的信息即可。为此，我们希望在感兴趣的频率点上最大可能地提高频率分辨率，在感兴趣的时间点上最大程度地提高时间分辨率，此时正交小波不再满足这种要求。

这需要对子空间WiW_iWi也一样进行分解，以提高频率分辨率，称为小波包分解。

4.2 分解过程

其过程如图所示：

对小波子空间WiW_iWi可以像尺度子空间ViV_iVi一样利用镜像滤波器进行正交分解，对其频带进行分割。将其子空间用符号UUU统一表示，子空间分解的公式为
Uim=Ui−12m⊕Ui−12m+1(4.2.1)U_{i}^{m}=U_{i-1}^{2m}\oplus U_{i-1}^{2m+1} \tag{4.2.1}Uim=Ui−12m⊕Ui−12m+1(4.2.1)
式中下标表示尺度层次，上标区别同一层上不同的子空间。

按照式(4.2.2)，小波子空间Wi=Ui1W_i=U_{i}^{1}Wi=Ui1可以如下分解：
Wi=Ui−12⊕Ui−13Wi=Ui−24⊕Ui−25⊕Ui−26⊕Ui−27Wi=Ui−k2k⊕Ui−k2k+1⊕⋯⊕Ui−k2k+1−1(4.2.2)\begin{aligned} W_i&=U_{i-1}^{2}\oplus U_{i-1}^{3} \\ W_i&=U_{i-2}^{4}\oplus U_{i-2}^{5}\oplus U_{i-2}^{6}\oplus U_{i-2}^{7}\tag{4.2.2}\\ W_i&=U_{i-k}^{2^k}\oplus U_{i-k}^{2^k+1}\oplus \cdots \oplus U_{i-k}^{2^{k+1}-1} \end{aligned}WiWiWi=Ui−12⊕Ui−13=Ui−24⊕Ui−25⊕Ui−26⊕Ui−27=Ui−k2k⊕Ui−k2k+1⊕⋯⊕Ui−k2k+1−1(4.2.2)
每层小波包将原频带一分为二，kkk层小波包可将原频带分割为2k2^k2k个子频带，从而实现频带细分，提高了频率分辨率。对整个小波包来说，它是一个按二进制组织的包含从宽到窄各个频带的带通滤波器组，各种应用都能够从中找到符合需求的最优组合。可以通过构造代价函数来计算如何实现最优（利益最大化或代价最小化）。

参考资料：Matlab 时频分析技术及其应用/葛哲学，陈仲生编著.–北京:人民邮电出版社，2006.1