快速傅里叶变换(FFT)

　　首先说一下我用FFT做什么，我要做的是多项式乘法，或者说，加速多项式乘法。
　　考虑多项式A(x)=∑j=0n−1ajxjA(x)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_jx^j，它一共有nn项，我们称它的次数界为nn。假设我们有两个次数界为nn的多项式A(x)A(x)和B(x)B(x)，要求它们的和是非常简单的，只需要将对应的系数相加，复杂度为O(n)O(n)。如果要求他们的积，则需要将A(x)A(x)的每一项和B(x)B(x)的每一项相乘，复杂度为O(n2)O(n^2)，这就显得有点慢了。
　　上面提到的多项式表示方法A(x)=∑j=0n−1ajxjA(x)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_jx^j称为系数表示，实际上它还有另一种表示方法叫点值表示。我们取nn个不同的值x0x_0，x1x_1，…，xn−1x_{n-1}代入多项式，可以得到nn个点(x0,A(x0))(x_0,A(x_0))，…，(xn−1,A(xn−1))(x_{n-1},A(x_{n-1}))。这nn个点可以确定一个唯一的原多项式（至于为什么，就不细说了）。
假设我们可以迅速在多项式的系数表示和点值表示间转换，就可以迅速完成多项式乘法。回到那个多项式A(x)A(x)，我们把xx的取值范围扩展到复数，ωn\omega_n表示nn(假设为2的整数幂)次单位复数根，恰当地选择多项式中xx的取值，使其分别等于ω1n,ω2n,...,ωnn\omega_n^1,\omega_n^2,...,\omega_n^n，就可以利用一些性质，递归地计算，进行加速。

下面放出一道题：Thief in a Shop
　　可以这样理解题意：有nn个数a1a_1~ana_n，从中选取kk个（可重复），问得到的和可以是多少。我们可以把它转化为一个多项式，若存在aia_i，则多项式第aia_i项的系数为11，否则为00。这样一来，两个多项式的乘积中，系数不为00的项就是k=2k=2时的解，继续乘下去，可以得到k=3,4,5...k=3,4,5...的解。
　　于是，我们就需要FFT来迅速完成多项式乘法，同时利用倍增，只进行log2(k)log_2(k)次乘法。注意每次乘完之后，要对那个列向量规整一下，避免迭代过程累积误差。
　　下面的代码可以作为模板。。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long longconst double eps = 0.5;
const double PI = acos(-1.0);struct Complex{double r,i;Complex(double r=0.0,double i=0.0):r(r),i(i){}Complex operator+(const Complex& c)const{return Complex(r+c.r,i+c.i);}Complex operator-(const Complex& c)const{return Complex(r-c.r,i-c.i);}Complex operator*(const Complex& c)const{return Complex(r*c.r-i*c.i,r*c.i+i*c.r);}
};void change(Complex y[],int len){for(int i=1,j=len>>1;i<len-1;i++){if(i<j){swap(y[i],y[j]);}int k = len>>1;while(j>=k){j -= k;k >>= 1;}if(j<k){j += k;}}
}void fft(Complex y[],int len,int on){change(y,len);for(int i=2;i<=len;i<<=1){Complex wn(cos(-on*2*PI/i),sin(-on*2*PI/i));for(int j=0;j<len;j+=i){Complex w(1,0);for(int k=j;k<j+i/2;k++){Complex u = y[k];Complex t = w*y[k+i/2];y[k] = u + t;y[k+i/2] = u - t;w = w * wn;}}}if(on == -1){for(int i=0;i<len;i++){y[i].r /= len;}}
}int lowbit(int x){return x&(-x);
}int fix(Complex *y,int l){while(l && y[l-1].r<eps ){l--;}for(int i=0;i<l;i++){Complex &c = y[i];if(c.r>eps){c.r = 1;}else{c.r = 0;}c.i = 0;}for(int i=l;i<1024*1024;i++){Complex &c = y[i];c.r = c.i = 0;} return l+1;
}void Print(Complex *y,int l){for(int i=0;i<l;i++){if(y[i].r>eps){cout<<i<<" ";}}cout<<endl;
}int mul(Complex *v1,int l1,Complex *v2,int l2,Complex *res){l1 = fix(v1,l1);l2 = fix(v2,l2);int sz = 2*max(l1,l2);while(sz!=lowbit(sz)){sz+=lowbit(sz);}l1 = l2 = sz;fft(v1,l1,1);fft(v2,l2,1);for(int i=0;i<sz;i++){res[i] = (v1[i]*v2[i]);}fft(res,sz,-1);return sz;
}Complex v[1024*1024];
Complex v2[1024*1024];
Complex ans[1024*1024];int main(){ int n,k;cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){int num;cin>>num;v[num].r = 1.0;}int sz = 1024;ans[0].r = 1;while(k){if(k&1){for(int i=0;i<sz;i++){v2[i] = v[i];}mul(v2,sz,ans,sz,ans);      }for(int i=0;i<sz;i++){v2[i] = v[i];}sz = mul(v,sz,v2,sz,v);k>>=1;}sz = fix(ans,sz);for(int i=0;i<sz;i++){if(ans[i].r > eps){printf("%d ",i);}}return 0;
}

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