为什么会有特征函数？

“a generating function is like a clothesline on which we hang up a sequence of numbers.”__________Herbert Wilf

ψx(t)=E(eitx)\psi_x(t)=E(e^{itx})ψx(t)=E(eitx)

观察eitxe^{itx}eitx的泰勒展开

eitx=1+itx1−t2x22...+(it)nxnn!e^{itx}=1+\frac{itx}{1}-\frac{t^2x^2}{2}...+\frac{(it)^nx^n}{n!}eitx=1+1itx−2t2x2...+n!(it)nxn
E(eitx)=eitx=1+itE(x)1−t2E(x2)2...+(it)nE(xn)n!E(e^{itx})=e^{itx}=1+\frac{itE(x)}{1}-\frac{t^2E(x^2)}{2}...+\frac{(it)^nE(x^n)}{n!}E(eitx)=eitx=1+1itE(x)−2t2E(x2)...+n!(it)nE(xn)

包含分布函数所有矩。即包含该分布函数的全部特征。而且根据泰勒级数，两个函数的各阶导数相同的越多，则这两个函数越相似。

因此，如果特征函数相等，则该分布的各个特征相等，则该分布相同。

“a generating function is like a clothesline on which we hang up a sequence of numbers.”__________Herbert Wilf

傅立叶逆变换

当随机变量X为连续随机变量，密度函数为p(x),特征函数为ψ(x)\psi(x)ψ(x),可以用傅立叶逆变换（实质上是一对互逆变换）。

ψ(t)=∫−∞∞eitxp(x)dx\psi(t)=\int^{\infty}_{-\infty}e^{itx}p(x)dxψ(t)=∫−∞∞eitxp(x)dx

p(x)=12π∫−∞∞e−itxψ(t)dtp(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-itx}\psi(t)dtp(x)=2π1∫−∞∞e−itxψ(t)dt

逆转公式

唯一性定理

随机变量的分布由其特征函数惟一决定
即随机变量的特征函数相同，其分布就相同，可用逆转公式进行证明
应用：验证正态分布的可加性…
根据特征函数判断分布

专门用来使用特征函数的乘积来处理独立随机变量和的分布

特征函数的性质

常用分布的特征函数

分布函数的连续性定理

分布函数序列Fn(x){F_n(x)}Fn(x) 弱收敛于分布函数F(x)F(x)F(x)的充要条件是其特征函数序列ψx(t)\psi_x(t)ψx(t)收敛于F(x)的特征函数ψ(t)\psi(t)ψ(t).

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