HDU 6305 RMQ Similar Sequence（笛卡尔树）

题目链接：RMQ Similar Sequence

题意

首先给定一个长度为 nnn 的整数序列 A={a1,a2,⋯,an}" role="presentation" style="position: relative;">A={a1,a2,⋯,an}A={a1,a2,⋯,an}A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}，定义 RMQ{A,l,r}RMQ{A,l,r}RMQ\{A,l,r\} 表示查找区间 [l,r][l,r][l,r] 内的最大值的下标，如果存在多个最大值，则取最左边的数字的下标。现在要构造一个长度为 nnn 的序列 B={b1,b2,⋯,bn}" role="presentation" style="position: relative;">B={b1,b2,⋯,bn}B={b1,b2,⋯,bn}B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}，要求每个数字都是属于区间 [0,1][0,1][0,1] 内的实数，且对于每一个 RMQ{B,l,r}RMQ{B,l,r}RMQ\{B,l,r\}，其询问结果都和 RMQ{A,l,r}RMQ{A,l,r}RMQ\{A,l,r\} 相同，问所有满足条件的序列 BBB 的 ∑i=1nbi" role="presentation" style="position: relative;">∑ni=1bi∑i=1nbi\sum_{i=1}^nb_i 的期望值。

输入

第一行为一个整数 TTT，接下去有 T" role="presentation" style="position: relative;">TTT 组数据，每组数据第一行为一个整数 n (1≤n≤106)n(1≤n≤106)n~(1\leq n\leq10^6)，第二行为 nnn 个整数 a1,a2,⋯,an (1≤ai≤n)" role="presentation" style="position: relative;">a1,a2,⋯,an (1≤ai≤n)a1,a2,⋯,an (1≤ai≤n)a_1,a_2,\cdots,a_n~(1\leq a_i\leq n)，数据保证所有 nnn 的和不超过 3×106" role="presentation" style="position: relative;">3×1063×1063\times10^6。

输出

输出期望对 109+7109+710^9+7 取模的结果，如果期望无法被 109+7109+710^9+7 整除，先化简期望为 pqpq\frac{p}{q}，保证 ppp 和 q" role="presentation" style="position: relative;">qqq 互质且都为正整数的情况下，输出 a (0≤a≤109+6)a(0≤a≤109+6)a~(0\leq a\leq10^9+6) 的值，要求 p−aqp−aqp-aq 能够被 109+7109+710^9+7 整除。

样例

输入
3 3 1 2 3 3 1 2 1 5 1 2 3 2 1
输出
250000002 500000004 125000001

题解

根据题意建立一棵序列 AAA 的笛卡尔树，题目即求笛卡尔树与数列 A" role="presentation" style="position: relative;">AAA 同构的序列 BBB 的序列和的期望，由于 B" role="presentation" style="position: relative;">BBB 内每个数字都是实数，所以任意两个数字相等的概率趋近于 000，对于每一个节点对应的区间，节点的数字大于该区间内所有数字的概率为 1soni" role="presentation" style="position: relative;">1soni1soni\frac{1}{son_i}，其中 sonisonison_i 为节点 iii 对应子树的节点数，将所有节点的满足条件的概率相乘，再乘上序列求和的期望值 n2" role="presentation" style="position: relative;">n2n2\frac{n}{2}，就是答案。最后要求期望对 109+7109+710^9+7 的取模的结果，就是将结果 pqpq\frac{p}{q} 转化成 p×q−1mod109+7p×q−1mod109+7p\times q^{-1}\mod10^9+7。

过题代码

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#include <queue>
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#include <map>
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#include <algorithm>
using namespace std;#define LL long long
const int maxn = 1000000 + 100;
const LL MOD = 1000000007;LL ans;
LL inv[maxn];struct Tree {int root, top, n;int sta[maxn], l[maxn], r[maxn];bool vis[maxn];void build(int *num, int nn) {n = nn;top = 0;memset(l, 0, sizeof(int) * (n + 1));memset(r, 0, sizeof(int) * (n + 1));memset(vis, 0, sizeof(bool) * (n + 1));for(int i = 1; i <= n; ++i) {int tmp = top;while(top > 0 && num[sta[top - 1]] < num[i]) {--top;}if(top != 0) {r[sta[top - 1]] = i;}if(top < tmp) {l[i] = sta[top];}sta[top++] = i;}for(int i = 1; i <= n; ++i) {vis[l[i]] = vis[r[i]] = true;}for(int i = 1; i <= n; ++i) {if(!vis[i]) {root = i;}}}int dfs(int x) {int cnt = 1;if(l[x] != 0) {cnt += dfs(l[x]);}if(r[x] != 0) {cnt += dfs(r[x]);}ans = (ans * inv[cnt]) % MOD;return cnt;}
};int T, n;
int num[maxn];
Tree t;void Init() {inv[1] = 1;for(int i = 2; i < maxn; ++i) {inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;}
}int main() {#ifdef Dmaxiyafreopen("test.txt", "r", stdin);#endif // Dmaxiyaios::sync_with_stdio(false);Init();scanf("%d", &T);while(T--) {scanf("%d", &n);ans = (n * inv[2]) % MOD;for(int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d", &num[i]);}t.build(num, n);t.dfs(t.root);printf("%I64d\n", ans);}return 0;
}

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