C语言笔记 | 一元三次方程

文章目录

0x00 前言

0x01 问题分析

0x02 代码设计

0x03 完整代码

0x04 运行效果

0x05 参考文献

0x06 总结

0x00 前言

在 1545 年，意大利学者卡丹所写的《关于代数的大法》中，提出了一元三次方程的求根公式。人们将其称为卡丹公式。对于标准型的一元三次方程 ax+bx+cx+d=0 （其中 a、b、c、d 属于实数且 a 不等于 0），可以通过变量代换将其转化为 x³+px+q=0 的形式，从而求出其根。

0x01 问题分析

一元三次方程的一般形式：

一元三次方程只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数为 3 次的整式方程。其中，a，b，c，d 为常数， x 为未知数，且 a≠0 。方程的公式解法为卡尔丹公式法。

0x02 代码设计

#include <stdio.h>
#include <math.h>

代码解析：先使用 #include 引入需要使用到的头文件，例如 C 框架中的标准输入输出库 <stdio.h> 以及需要使用 <math.h> 数学库计算一元三次方程的解。

        double a = 0.0, b = 0.0, c = 0.0, d = 0.0, x1, x2, x3, P, Q, R, cos_value, theta;printf("请输入四个系数：");

代码解析：定义 double 双精度类型的变量 a 、 b 、 c 和 d ，以及一元三次方程的三个实根设为 x1 、 x2 、 x3 。定义 P 、 Q 、 R 以及 cos_value 和 theta 这几个变量方便后续使用卡丹公式。使用 printf(); 函数提示用户输入四个系数。

        while (scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0) {printf("错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！\n"); while (getchar() != '\n') continue;}

代码解析：使用 while 循环语句判断用户输入的数值是否是四个数，并且判断 a 是否等于 0 。如果用户输入的数值不是四个数或者 a 为零，那么则进入循环。如果进入循环中，那么会提示 “错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！” 并且执行 while 循环语句清空缓冲区，直到遇到换行符执行 continue 语句跳出当前循环。

     if (getchar() != '\n') {while (getchar() != '\n') continue;printf("警告：您输入了多余的字符，已被清除！\n");continue; }

代码解析：使用 if 语句判断如果输入缓冲区中还有字符（不包括换行符号），那么执行 if 语句中的内容。其中， while 循环和上文中的代码一样是清空缓冲区，直到遇到换行符执行 continue 语句跳出当前循环。

        P = b / (3.0 * a);Q = (pow(P, 3) - (b * c / (3.0 * a)) + d / a) / 2.0;R = (c / a) - pow(P, 2);cos_value = Q / sqrt(pow(Q, 2) + pow(R, 3));theta = acos(cos_value);x1 = -2.0 * sqrt(R) * cos(theta / 3.0) - P;x2 = -2.0 * sqrt(R) * cos((theta + 2.0 * M_PI) / 3.0) - P;x3 = -2.0 * sqrt(R) * cos((theta - 2.0 * M_PI) / 3.0) - P;

代码解析：其中， P 代表一元三次方程中 x 的一次幂系数的一半， Q 和 R 分别代表一元三次方程中 x 的零次幂系数和二次幂系数的函数， cos_value 代表计算出来的角度余弦值， theta 代表角度值， x1 、 x2 、 x3 分别代表一元三次方程的三个根。

     if (Q == 0 && R == 0){x1 = -b / (3.0 * a);printf("方程有三个相等的实根：x1 = x2 = x3 = %.2lf\n", x1);return 0;}

代码解析：判断如果 Q 和 R 都为零，说明三个根相等，那么可以用公式 -b / (3.0 * a) 计算方程相等的实根。并输出方程有三个相等的实根，保留两位小数。如果正常执行就返回 0 。

     printf("方程的解为：x1 = %.2lf, x2 = %.2lf, x3 = %.2lf\n", x1, x2, x3);return 0;

代码解析：输出 x1 ， x2 ， x3 的计算结果，并保留两位小数。

double U_cubic_E()
{   while(1){double a = 0.0, b = 0.0, c = 0.0, d = 0.0, x1, x2, x3, P, Q, R, cos_value, theta;printf("请输入四个系数：");while (scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0) {if (getchar() != '\n') {P = ...Q = ...R = ...cos_value = ...theta = ...x1 = ...x2 = ...x3 = ...if (Q == 0 && R == 0){printf("方程的解为：x1 = %.2lf, x2 = %.2lf, x3 = %.2lf\n", x1, x2, x3);return 0;}
}

代码解析：为计算一元三次方程的代码添加 while 死循环，确保用户输入错误能重新执行程序获得用户输入并执行。并设置一个 double 类型的函数将循环代码封装到函数中，如果函数执行完毕，那么会返回 0 表示程序正常执行。

int main()
{U_cubic_E();return 0;
}

代码解析：主函数，调用 U_cubic_E(); 函数用来求解一元三次方程，返回值为 0 时，表示程序执行完毕。

0x03 完整代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>double U_cubic_E() //一元三次方程
{   while(1){double a = 0.0, b = 0.0, c = 0.0, d = 0.0, x1, x2, x3, P, Q, R, cos_value, theta;    printf("请输入四个系数：");while (scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0) // 如果输入不是四个数或者a为0，则进入循环 {printf("错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！\n"); // 提示用户输入错误 while (getchar() != '\n') // 清空输入缓冲区，直到遇到换行符continue;} if (getchar() != '\n') // 判断如果输入缓冲区中还有字符（不包括换行符）{while (getchar() != '\n') // 清空输入缓冲区，直到遇到换行符continue;printf("警告：您输入了多余的字符，已被清除！\n");continue; // 提示用户输入多余字符，并清除，使用 continue 跳出循环}P = b / (3.0 * a); // 计算 P 的值Q = (pow(P, 3) - (b * c / (3.0 * a)) + d / a) / 2.0; // 计算 Q 的值R = (c / a) - pow(P, 2); // 计算 R 的值cos_value = Q / sqrt(pow(Q, 2) + pow(R, 3)); // 计算角度的余弦值theta = acos(cos_value); // 计算角度值x1 = -2.0 * sqrt(R) * cos(theta / 3.0) - P; // 计算 x1x2 = -2.0 * sqrt(R) * cos((theta + 2.0 * M_PI) / 3.0) - P; // 计算 x2x3 = -2.0 * sqrt(R) * cos((theta - 2.0 * M_PI) / 3.0) - P; // 计算 x3if (Q == 0 && R == 0) // 如果 Q 和 R 都为零，说明三个根相等{x1 = -b / (3.0 * a); // 计算三个根的解printf("方程有三个相等的实根：x1 = x2 = x3 = %.2lf\n", x1);return 0;}printf("方程的解为：x1 = %.2lf, x2 = %.2lf, x3 = %.2lf\n", x1, x2, x3);return 0;}
}int main()
{U_cubic_E(); // 调用一元三次方程函数return 0;
}

0x04 运行效果

请输入四个系数：a b c d
错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！
0 1 2 3
错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！
1 2 3 4 5
警告：您输入了多余的字符，已被清除！
请输入四个系数：20 23 4 12
方程的解为：x1 = -0.62, x2 = 0.08, x3 = -0.61--------------------------------
Process exited after 15.24 seconds with return value 0
请按任意键继续. . .

0x05 参考文献

[1].百度百科. 一元三次方程[EB/OL]. [2023-04-12]. https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B?fromModule=lemma_search-box.

[2].百度百科. 一元三次方程求根公式[EB/OL]. [2023-04-12]. https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/10721952.

0x06 总结

文章内容为学习记录的笔记，由于作者水平有限，文中若有错误与不足欢迎留言，便于及时更正。