【软考】【系统架构设计师】最大流量问题
概念
管道网络中每条边的最大通过能力(容量)是有限的,实际流量不超过容量。
最大流问题(maximum flow problem),一种组合最优化问题,就是要讨论如何充分利用装置的能力,使得运输的流量最大,以取得最好的效果。求最大流的标号算法最早由福特和福克逊于1956年提出,20世纪50年代福特(Ford)、福克逊(Fulkerson)建立的“网络流理论”,是网络应用的重要组成成分。
把最大流算法想象成两个运输站之间运货,两个运输站之间有很多个中转站,每个中转站都有一个最大容量,站与站之间运货都有不同的运货量,而且中转站不会留货物,所以货物的总量一定等于源站的出货数或者汇站的进货数。最大流算法就是在不超过所有中转站的容量的情况下,求最大出货量/进货量以及所有中转站之间的运货量。
案例
下图标出了某地区的运输网,各节点之间的运输能力标记在运输网各端点的连线上(单位:万吨/小时)。请问,从节点①到节点⑥的最大运输能力(流量)可以达到()万吨/小时?
解析
- 使用标号算法来解决最大流量问题(为了最简化说明算法思路和求解过程,本文不引入一大堆的符号、公式,这样只会让初学者眼花缭乱。)。
- 算法原理简析:
- 起点(①)和终点(⑥)之间有许多种连线方式,有的经过节点少,有的经过节点多,但无论经过多少节点,每一种线路的最大运输量是取决于该连线中运输量最小的那一段。例如:①②⑤⑥线路,其中最大流量值最低的是①②段,如果要从①运输到⑥,最大流量是6,因为超过6,①②段无法容纳。
- 标号算法需要在所有线路方案中逐一找出剩余线路方案,找出每种线路方案中最大流量上限值x,作为结果集(该结果集的元素值的和即为最终答案),线路中的每一段连线流量都要扣除x,若扣除x后的流量等于0,则断开剩余流量为0的连线;
- 不断重复上一步,扩充结果集的同时扣除剩余连线剩余流量,直到起点和终点之间不再有任何连通方案。
如果看不懂欢迎留言。
步骤
- 以①为起点,⑥为终点,从运输网中任取一条连通方案,假设选取①②⑤⑥,该线路最大流量上限为6(①②),每段连线的最大流量扣掉6,剩余流量为0的连线断开,表示已经不可再接收流量。此时结果集为{6}。
- 再取一条新线路,假设为①③⑤⑥,最大流量上限为10(①③),同样每段连线扣除10,剩余流量为0的连线,直接断开。此时结果集为{6,10}。
- 再次选择线路,①④⑥,最大流量上限为5(④⑥),每段连线扣除5,剩余流量为0的连线,直接断开。此时结果集为{6,10,5}。
- 再次选择线路,①④③⑤⑥,最大流量上限为1(④③),每段连线扣除1,剩余流量为0的连线,直接断开。此时结果集为{6,10,5,1}。
- 再次选择线路,①④②⑤⑥,最大流量上限为1(④②),每段连线扣除1,剩余流量为0的连线,直接断开。此时结果集为{6,10,5,1,1}。
- 从上图中观察到,此时已经没有可连通起点和终点的线路了,所以最终结果集就是{6,10,5,1,1}。其元素值的和为 6+10+5+1+1 = 23。
参考资料
https://blog.csdn.net/weixin_42419611/article/details/105413547
https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%B5%81%E9%97%AE%E9%A2%98/19144252?fr=aladdin
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