【转】贝塞尔曲线和曲面

【转】贝塞尔曲线和曲面

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参数方程表现形式

在中学的时候，我们都学习过直线的参数方程：y = kx + b;其中k表示斜率，b表示截距（即与y轴的交点坐标）。类似地，我们也可以用一个参数方程来表示一条曲线。1962年，法国工程师贝塞尔发明了贝塞尔曲线方程。关于贝塞尔曲线的详细介绍可以参考（维基贝塞尔）。这里只介绍OpenGL实现贝塞尔的函数。

OpenGl定义一条曲线时，也把它定义为一个曲线方程。我们把这条曲线的参数成为u,它的值域就是曲线的定义域。曲面则需要u和v两个参数来描述。注意，u和v参数只表示了描述曲线的参数方程的范围，它们并没有反映实际的坐标值。其坐标可以表示为:

x = f(u); y = g(u); z = h(u);

如下图：

由P₀至P₁的连续点Q₀，描述一条线性贝塞尔曲线。
由P₁至P₂的连续点Q₁，描述一条线性贝塞尔曲线。
由Q₀至Q₁的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。

二次贝塞尔曲线的结构
二次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

三次方曲线

三次贝塞尔曲线的结构
三次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

连续性

两段曲线是否相连接，代表这两段曲线是否连续的。曲线的连续性分为4种，无连续，点连续，正切连续，曲率连续。下图分别表示了这几种情况：

其中曲率连续的曲线过渡的更平滑。我们可以通过参数来设置曲线的连续性。

求值器

OpenGL提供了一些函数来绘制贝塞尔曲线和曲面。我们只需要提供控制点和u,v作为参数，然后调用求值函数来绘制曲线。

2D曲线的例子：

//控制点 GLint numOfPoints = 4; static GLfloat controlPoints[4][3] = {{-4.0f, 0.0f, 0.0f},
{-6.0f, 4.0f, 0.0f},
{6.0f, -4.0f, 0.0f},
{4.0f, 0.0f, 0.0f}}; void SetupRC()
{glClearColor(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);glColor3f(1.0f, 0.0f, 1.0f);
}
//画控制点
void DrawPoints()
{glPointSize(2.5f);glBegin(GL_POINTS); for (int i = 0; i < numOfPoints; ++i){glVertex3fv(controlPoints[i]);}glEnd();
} void ChangeSize(GLsizei w, GLsizei h)
{if (h == 0){h = 1;}glViewport(0, 0, w, h);//使用正交投影glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(-10.0f, 10.0f, -10.0f, 10.0f);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glLoadIdentity();
} void RenderScene()
{glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//设置贝塞尔曲线，这个函数其实只需要调用一次，可以放在SetupRC中设置glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, //生成的数据类型0.0f, //u值的下界100.0f, //u值的上界3, //顶点在数据中的间隔，x,y,z所以间隔是3numOfPoints, //u方向上的阶，即控制点的个数&controlPoints[0][0] //指向控制点数据的指针 );//必须在绘制顶点之前开启glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);//使用画线的方式来连接点glBegin(GL_LINE_STRIP);for (int i = 0; i <= 100; i++){glEvalCoord1f((GLfloat)i);}glEnd();DrawPoints();glutSwapBuffers();}

在RenderScene函数中调用glMap1f来为曲线创建映射。第一个参数为GL_MAP1_VERTEX3，设置求值器产生顶点为三元组(x,y,z).还可以设置为产生纹理坐标和颜色信息。参考glMap1.后面的两个参数设定了u的取值范围[0,100]，第四个参数指定了顶点在数组中的间隔，由于顶点是由3个浮点数组成，所以间隔是3.第五个参数指定了控制点的个数，最后一个参数是控制点数组。然后我们需要启用求值器，调用如下：

glEnable(GL_MAP1_VERTEX3);

glEvalCoord1f函数，接受一个参数为曲线的参数值。调用这个函数会通过求值函数求出顶点坐标值，然后内部调用了glVertex。这里使用连线的方式来连接这些顶点：

glBegin(GL_LINE_STRIP);

for(i = 0; I <= 100; i++)

{

glEvalCoord1f((GLfloat)i);

}

glEnd();

计算曲线

OpenGl还提供了更简单的方式来完成上面的任务。我们可以通过glMapGrid函数来设置一个网格，来告诉OpenGL在u的值域的范围内创建一个包含各个点的空间对称的网格。然后，我们调用glEvalMesh，使用指定的图元(GL_LINE或GL_POINTS)来链接各个点。

我们用下面的两个函数调用

  glMapGrid1f(100, 0.0f, 100.0f);glEvalMesh1(GL_LINE, 0, 100);

可以替换下面的代码

glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 0; i <= 100; i++){glEvalCoord1f((GLfloat)i);}
glEnd();

使用这种方式更为紧凑。

3D表面

创建一个贝塞尔曲面与创建一个贝塞尔曲线类似。除了给出u的定义域之外，还要给出v的定义域。下面的例子是创建一个贝塞尔曲面。与之前不同的是，我们沿着v的定义域定义了3组控制点。为了保持曲面的简单，这几组控制点只是z值不同。用这种方式画的曲面，看起来像是曲线沿z轴的扩展。

//控制点  GLint nNumPoints = 3;GLfloat ctrlPoints[3][3][3]= {{{  -4.0f, 0.0f, 4.0f},
{ -2.0f, 4.0f, 4.0f},
{  4.0f, 0.0f, 4.0f }},{{  -4.0f, 0.0f, 0.0f},
{ -2.0f, 4.0f, 0.0f},
{  4.0f, 0.0f, 0.0f }},{{  -4.0f, 0.0f, -4.0f},
{ -2.0f, 4.0f, -4.0f},
{  4.0f, 0.0f, -4.0f }}}; //画控制点  void DrawPoints(void)
{ int i,j;    glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f); //把点放大一点，看得更清楚  glPointSize(5.0f);glBegin(GL_POINTS); for(i = 0; i < nNumPoints; i++)for(j = 0; j < 3; j++)glVertex3fv(ctrlPoints[i][j]);glEnd();
}
void RenderScene(void)
{
// Clear the window with current clearing color glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);// 保存模型视图矩阵  glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glPushMatrix(); //旋转一定的角度方便观察  glRotatef(45.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f);glRotatef(60.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f); //设置映射方式，只需要设置一次可以在SetupRC中调用。  glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, //生成的数据类型  0.0f, // u的下界 10.0f, //u的上界  3, //数据中点的间隔  3, //u方向上的阶  0.0f, //v的下界  10.0f, //v的上界  9, // 控制点之间的间隔  3, // v方向上的阶  &ctrlPoints[0][0][0]); //控制点数组 //启用求值器  glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3); //从0到10映射一个包含10个点的网格  glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f); // 计算网格  glEvalMesh2(GL_LINE,0,10,0,10); //画控制点  DrawPoints();glPopMatrix();glutSwapBuffers();
}

在这里我们用glMap2f替换了之前的glMap1f, 这个函数指定了u和v两个域上的点。除了指定u的上界和下界之外，还要指定v的上界和下界。v定义域内点的距离是9，因为这里使用了3维数组，包含了3个u值，每个u值又包含了3个点，3x3=9。然后指定v方向上的阶，即每个u分支上v方向有多少个点。最后一个参数是指向控制点的指针。

然后我们设置求值器.

//启用求值器

glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
//从0到10映射一个包含10个点的网格

glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);

计算网格网格表面，用线的方式表示。

// 计算网格
glEvalMesh2(GL_LINE,0,10,0,10);

光照和法线

求值器还可以帮我们生成表面的法线，只需简单的修改一些代码：

把glEvalMesh2(GL_LINE, 0, 10, 0, 10);替换为glEvalMesh2(GL_FILL, 0, 10, 0, 10);然后在初始化时 SetupRC中调用glEnable(GL_AUTO_NORMAL);就可以得到一个收到光照的曲面了。