1.傅里叶变换与图像处理

之前写过相应的笔记：傅里叶变换的再理解
笔记来源：The mathematics of image compression
笔记来源：傅立叶变换如何理解？美颜和变声都是什么原理？李永乐老师告诉你

仅为个人学习笔记，望各位大佬发现问题评论区帮我纠正，感谢各位！

1.1 傅里叶变换

傅里叶变换分为傅里叶级数和连续傅里叶变换

1.1.1 傅里叶级数

任何周期性的函数 f ( t ) f(t) f(t)都可以变成一系列正弦（余弦）函数的和
傅里叶级数只能处理周期性函数
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n sin ( n ω t + ϕ n ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{sin}(n\omega t+\phi_n) f(t)=2a0+n=1∑∞ansin(nωt+ϕn)
a n a_n an为振幅、 ω \omega ω为频率、 ϕ n \phi_n ϕn为相位
或也可写成另一种形式
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n sin ( n ω t ) + b n cos ( n ω t ) ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \big(a_n \text{sin}(n\omega t)+b_n \text{cos}(n\omega t)\big) f(t)=2a0+n=1∑∞(ansin(nωt)+bncos(nωt))
a n a_n an为振幅、 ω \omega ω为频率，上式中的标准正交基为1、 sin x \text{sin}x sinx、 cos x \text{cos}x cosx

下图来自：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
频域图像中纵轴为各个波的振幅以及频率，可以在频域图像中将第三个轴作为相位（相位通俗理解为波的起点位置的值）

时域信号通过傅里叶变换变为频域信号（包含内容：频率，振幅，相位）
频域信号通过逆傅里叶变换变为时域信号

其实上述变换相当于图像变为数，数变为图像
类比将向量写为坐标，通过坐标也可以画出向量

1.1.2 连续傅里叶变换

对于非周期函数可以应用傅里叶变换
傅里叶变换的复数形式需要借助欧拉公式
cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ θ = ω t cos ⁡ ω t + i sin ⁡ ω t = e i ω t \cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta}\\ \theta=\omega t\\ \cos\omega t+i\sin\omega t = e^{i\omega t}\\ cosθ+isinθ=eiθθ=ωtcosωt+isinωt=eiωt
一个具体的 e i ω t e^{i\omega t} eiωt 代表正交基（ cos ⁡ \cos cos和 sin ⁡ \sin sin）的某一个具体组合

备注：具体如何实现将波分解还没有理解

1.2 波与图像的关系

波与图像到底如何产生关系的？
将波与像素值进行映射，此后就可以使用波来对像素进行处理了
下图来自：信号处理，图像压缩，听歌识曲，为什么傅里叶的名字无处不在？

下图为 z = c o s ( x ) z=cos(x) z=cos(x)的三维图像
从正面看就对应了上图中的二维平面上的波形

有些图像特征与颜色无关，有时我们先将RGB转为灰度图来处理。
当将波谷取为纯白色，波峰取为纯黑色，中间为白到黑的过渡，就变为了下图

改变余弦波的频率

将两个余弦波 cos x \text{cos}x cosx和 cos 2 y \text{cos}2y cos2y叠加得到 cos x + cos 2 y \text{cos}x+\text{cos}2y cosx+cos2y 图像

一张灰度图像可以由许多个波叠加而成

空间域中的图像由许多波组合而成，这些波经过傅里叶变换到频率域，在频率域内进行处理后，经过逆傅里叶变换得到处理后的图像

1.3 频率域中的低频，高频部分与空间域中图像的对应关系

下图中左侧为空间域中的图像，右侧为图像经过傅里叶变换得到的频率域

在频率域中使用低通滤波器（仅允许低频波经过，不允许高频波通过）最后频率域中只剩下低频波，将此时的低频波运用逆傅里叶变换得到处理后的图像，我们观察一下图像会有什么变化，由此我们发现

低通滤波器相当于模糊功能

低通滤波器去除了高频波，我们发现去除后，右侧波形相比左侧波形变化并没有那么剧烈，频率低，则波峰波谷少一些，对应的黑白过度少一些，低频部分是决定整个图像的大致走向，即轮廓，因为低频波代表着像素值的变化平缓（回想文章开头说的波与像素值的映射关系）

若我们使用高通滤波器，经过上述类似步骤后，我们得到以下图像，由此发现

高通滤波器相当于边缘检测

高通滤波器去除低频波，我们发现去除后，右侧波形相比左侧波形少一些细节，频率高，则波峰波谷多一些，对应的黑白过度多一些，高频部分是负责填充细节，因为高频波代表着像素值的快速变化（回想文章开头说的波与像素值的映射关系），这也正是图像中边缘两侧像素值的特点

傅里叶变换与图像处理相关推荐

图像处理-离散傅里叶变换-数字图像处理第三版第四章内容
图像傅里叶变换方法有很多,可以通过空间光调制器输入图像后在通过平行光照明经过傅里叶变换透镜进行傅里叶变换,另一个方法就是利用计算机进行傅里叶变换,其中傅里叶变换有两种算法一种是DFT还有一种是FFT( ...
OpenCV4.3 Java 编程入门：离散傅里叶变换
文章目录 1 时域,频域,空间域 2 傅里叶变换 3 图像处理:频域增强 4 傅里叶变换定理 5 傅里叶变换特性 6 dft() 函数 1 时域,频域,空间域首先,需要知道什么是定义域: 定义域( ...
Matlab对图像进行傅里叶变换实例
一.实验目的 1.了解图像变换的意义和手段: 2.熟悉傅里叶变换的基本性质: 3.熟练掌握FFT的方法与应用: 4.通过实验了解二维频谱的分布特点: 5.通过本实验掌握利用MATLAB编程,实现数字图 ...
数字图像处理与Python实现
1.数字图像处理基础知识 1.1数字图像简介目的提升图像的视觉感知质量提取图像中感兴趣区域或特征方便图像的存储和运输特点可再现能力强处理精度高适用范围广灵活性高方法图像变换图像 ...
图像的傅里叶变换 java_图像傅里叶变换的步骤是什么? java
展开全部冈萨雷斯版里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作62616964757a686964616fe58685e5aeb931333361303635一个玻璃棱镜.棱镜是可以将光分解 ...
遥感数字图像处理教程复习整理
目录 01 说明遥感影像的存储方式 BSQ方式 BIL方式 BIP方式如何计算图像存储空间大小(字节数)? 简单的单位换算计算公式简单地复杂地如何查看影像的基本信息/辅助信息? 如何进行直 ...
Python图像处理【10】基于离散余弦变换的图像压缩
基于离散余弦变换的图像压缩 0. 前言 1. 离散余弦变换基础 2. 基于离散余弦变换的图像压缩 3. 图像 JPEG 压缩 3.1 JPEG 压缩原理 3.2 JPEG 压缩实践小结系列链接 0 ...
数字图像处理实验(二)
实验目的实验一:图像增强了解图像增强的目的及意义,加深对图像增强的感性认知 1. 掌握直接灰度变换的图像增强方法 2. 掌握灰度直方图的概念及其计算方法 3. 掌握直方图均衡化合直方图规定化得计算 ...
让机器“看见”：图像数据的特征提取方法
↑↑↑关注后"星标"Datawhale 每日干货 & 每月组队学习,不错过 Datawhale干货作者:谢雨飞,趣头条算法工程师图像特征主要有图像的颜色特征.纹理特征. ...

傅里叶变换与图像处理