一、实验目的

1、了解图像变换的意义和手段；
2、熟悉傅里叶变换的基本性质；
3、熟练掌握FFT的方法与应用；
4、通过实验了解二维频谱的分布特点；
5、通过本实验掌握利用MATLAB编程，实现数字图像的傅里叶变换。

二、实验仪器

1、计算机；
2、MATLAB程序；
3、移动式存储器（软盘、U盘等）；
4、记录用的笔、纸。

三、实验原理

1、应用傅里叶变换进行图像处理
傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像技术的人来说，把时间用在学习和掌握傅里叶变换上是很有必要的。
2、傅里叶（Fourier）变换的定义
对于二维信号，二维Fourier变换定义为：

逆变换：

二维离散傅里叶变换为：

逆变换：

图像的傅里叶变换与一维信号的傅里叶变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅里叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上，现在有实现傅里叶变换的芯片，可以实时实现傅里叶变换。
3、利用MATLAB软件实现数字图像傅里叶变换、DCT变换的程序。

四、实验步骤

1、打开计算机，安装和启动MATLAB程序；程序组中“work”文件夹中应有待处理的图像文件；
2、利用MATLAB工具箱中的函数绘制FFT频谱显示的函数；
3、a）调入、显示图像；
b）对这图像做FFT、DCT并利用自编的函数显示其频谱；
c）讨论不同的图像内容与FFT、DCT频谱之间的对应关系。
4、记录和整理实验报告。

五、实验内容

MATLAB源程序如下：

clear
clc
img=imread('peppers.png');
subplot(2,2,1);imshow(img);title('原图');
f=rgb2gray(img);    %对于RGB图像必须做的一步，也可以用im2double函数
F=fft2(f);          %傅里叶变换
F1=log(abs(F)+1);   %取模并进行缩放
subplot(2,2,2);imshow(F1,[]);title('傅里叶变换频谱图');
Fs=fftshift(F);      %将频谱图中零频率成分移动至频谱图中心
S=log(abs(Fs)+1);    %取模并进行缩放
subplot(2,2,3);imshow(S,[]);title('频移后的频谱图');
fr=real(ifft2(ifftshift(Fs)));  %频率域反变换到空间域，并取实部
ret=im2uint8(mat2gray(fr));    %更改图像类型
subplot(2,2,4);imshow(ret),title('逆傅里叶变换');

六、实验结果

在MATLAB中运行后，实验结果如图：
在Figure1中，左上角显示的是读入MATLAB程序的原图片，右上角显示的是经过二维傅里叶快速变换后的频谱图像，左下角显示的是将频谱中零频率成分移至矩阵的中心后的频谱图像。右下角显示的是二维傅里叶逆变换后的图像。

图1 MATLAB程序运行后结果

七、实验中遇到的问题及对实验过程的思考

1、关于imshow函数：
使用imshow函数显示图像时要注意图像矩阵类型，当图像是double类型时要使用imshow（I,[]）来根据数据矩阵的数值范围自动设置灰度图像显示范围。
详细可参考matlab官网参考文档：显示图像-MATLAB imshow-MathWorks中国

2、关于运行时可能出现的警告：
如果图像进行傅里叶转换后立即用imshow函数显示，则在命令行可能会显示：Warning: Displaying real part of complex input（警告: 显示复数输入项的实部）。这是因为经过傅里叶变换后的图像矩阵大多是复数矩阵，包含实部和虚部。此时如要显示图像则需要先用abs取复数矩阵的模，再进行显示。
取模后图像矩阵的数值一般会很大，直接用imshow函数是无法显示的，此时可以用log函数取其对数，如log(abs(F)+1)，这样就可以对频谱进行缩放。至于为什么用log(F+1)，如下图所示，对于（0，1）之间的x值经过取对数后会变成负值，而log（x+1）则将所有的x值映射到正数范围内。

图2 log

3、关于开头im2double和rgb2gray函数的使用：
对于RGB真彩图像来说，读入后是以三维矩阵形式存储的，如果此时直接进行傅里叶变换，则频谱图会显示为一片空白或者是密密麻麻的。所以在对RGB图像进行傅里叶变换前要进行类型转换，可以使用im2double将其转换为双精度型（图像运算很少有整型的，所以保守起见不管什么图像都先用这个函数进行转换），或者使用rgb2gray将其转换为灰度图像。
使用不同的函数其变换效果也是不一样的。如使用im2double，进行傅里叶变换后其频谱图呈白色基调，使用rgb2gray其频谱图呈灰色基调。

4、关于最后使用im2uint8转换图像类型：
这一步是为了将逆转换得到的矩阵先转换为灰度图像（mat2gray），再将图像类型转换为uint8。其实这一步的调用与否与开头两个类型转换函数的使用有关，如果在开头就已经将RGB图像转为灰度图像，则此步骤可省去，直接显示经逆转换的图像。如果开头调用im2double，此步省略后可显示出彩色图像。当然此步骤在不同方面发挥着不同作用，取的灰度图像可以为后续操作提供基础。

更多函数信息可参考matlab官网 MATLAB-函数

如有错漏之处敬请指正

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