pandas库

样本方差无偏估计：

\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2\)

偏度无偏估计：

\(g_1=\frac{k_3}{k_2^{\frac{3}{2}}}=\frac{n^2}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}\frac{m_3}{s^3}=\frac{n^2}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^3}}{{\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2}}}^3}=\frac{\sqrt{n\left(n-1\right)}}{\left(n-2\right)}\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^3}}{{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2}}}^3}\)

峰度无偏估计：

stats库

偏度有偏估计：

\(b_1=\frac{m_3}{s^3}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^3}}{{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2}}}^3}\)

峰度有偏估计：

\(g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i-1}^{n}{(x_i-\overline{x})^4}}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2})^2}-3\)

原始定义

偏度

\(b_1=\frac{m_3}{s^3}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^3}}{{\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2}}}^3}\)

峰度

\(g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i-1}^{n}{(x_i-\overline{x})^4}}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2})^2}-3\)

#!/usr/bin/python

# -*- coding: UTF-8 -*-

import pandas as pd # pandas是科学计算的库，主要用于数据分析

import numpy as np # 导包

from scipy import stats # scipy是开源数值计算，科学与工程应用的开源库 (scipy.stats)主要用于统计

#偏度与峰度

x=[53, 61, 49, 66, 78, 47] # 列表[1,6]

n = len(x) # n为x中数据个数

######## 使用pandas计算偏度与峰度

s=pd.Series(x)#将列表x转换为pandas中的Series，其实就相当于一维的矩阵

print('***************使用pandas计算的偏度与峰度(无偏)***************')

print('偏度 = ',s.skew(),'峰度:',s.kurt()) # 计算偏度和峰度

print()

######## 使用stats计算偏度与峰度

print('***************使用stats计算的偏度与峰度(有偏)***************')

skew=stats.skew(x)#使用stats计算偏度

kurtosis = stats.kurtosis(x)#使用stats计算峰度

print('偏度 =',skew,'峰度 =',kurtosis)

print()

######## 使用文本中公式计算的偏度与峰度

print('***************使用文本中公式计算的偏度与峰度***************')

R_mean = np.mean(x) # 均值

R_var = np.var(x,ddof = 1) # 方差(除以n-1)

R_var1 = np.var(x) # 方差(除以n)

R_sc = np.mean((x - R_mean)** 3)/(R_var**3)**.5 #偏度使用除以n-1的方差

R_ku = np.mean((x - R_mean)**4)/R_var1**2-3 #峰度使用除以n的方差

print('偏度 =',R_sc,'峰度 =',R_ku)

###### 此部分可用于验证pandas的计算结果 ######

# R_sc = 30**0.5*np.mean((x - R_mean)**3)/(R_var1**3)**.5 /4# 偏度

# R_ku = (n+1)*n/(n-1)/(n-2)/(n-3)*sum((x - R_mean)**4)/(R_var**2)-3*(n-1)*(n-1)/(n-2)/(n-3) # 峰度

# print([R_sc, R_ku])#输出偏度、峰度

###################################################################

######################设置参数计算有偏和无偏#########################

###################################################################

print()

print('###################################################################')

print('######################设置参数计算有偏和无偏#########################')

print('###################################################################')

def skewAndkurt(x,parm):

'''

parm = 2: 使用文本中公式计算的偏度与峰度(有偏)

parm = 1: 使用pandas计算的偏度与峰度(无偏)

parm = 0: 使用stats计算的偏度与峰度(有偏)

'''

if parm == 2:

print('parm = 2 , 使用文本中公式计算的偏度与峰度(有偏):')

R_mean = np.mean(x) # 均值

R_var = np.var(x,ddof = 1) # 方差(除以n-1)

R_var1 = np.var(x) # 方差(除以n)

R_sc = np.mean((x - R_mean)** 3)/(R_var**3)**.5 #偏度使用除以n-1的方差

R_ku = np.mean((x - R_mean)**4)/R_var1**2-3 #峰度使用除以n的方差

print('偏度 =',R_sc,'峰度 =',R_ku)

if parm == 1:

print('parm = 1 , 使用pandas计算的偏度与峰度(无偏):')

s=pd.Series(x) # 使用pandas计算的偏度与峰度(无偏)

print('偏度 = ',s.skew(),'峰度:',s.kurt()) # 计算偏度和峰度

elif parm == 0: # 使用stats计算的偏度与峰度(有偏)

print('parm = 0 , 使用stats计算的偏度与峰度(有偏):')

skew=stats.skew(x) # 使用stats计算偏度

kurtosis = stats.kurtosis(x)#使用stats计算峰度

print('偏度 =',skew,'峰度 =',kurtosis)

parm = 0

skewAndkurt(x,0)

print()

parm = 1

skewAndkurt(x,1)

print()

parm = 2

skewAndkurt(x,2)