机器人学——1.2-三维空间位姿描述
三维情况实际上是之前讨论的二维情况的延伸。我们在二维坐标系上增加一个额外的坐标轴，通常用 zzz 表示，它同时与 xxx 轴和 yyy 轴正交。zzz 轴的方向服从右手规则，并构成右手坐标系。与各坐标轴平行的单位向量记作 xxx、yyy 和 zzz
z~=x~×y~x~=y~×z~y~=z~×x~\tilde{z} = \tilde{x} \times \tilde{y} \quad \tilde{x} = \tilde{y} \times \tilde{z} \quad \tilde{y} = \tilde{z} \times \tilde{x} z~=x~×y~x~=y~×z~y~=z~×x~
坐标系中的一个点 PPP 可用其 xxx，yyy 和 zzz 的坐标值 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z) 或者一个约束向量表示：
p=xx~+yy~+zz~p=\text{x}\tilde{x}+\text{y}\tilde{y}+\text{z}\tilde{z} p=xx~+yy~+zz~
下图展示了一个相对于参考坐标系 {A}\{A\}{A} 的坐标系 {B}\{B\}{B} 。可以清楚地看到，{B}\{B\}{B} 的原点通过向量 t=(x,y,z)t=(x,y,z)t=(x,y,z)进行平移，然后再通过某种复杂方式进行了旋转。正如二维情况一样，我们如何表示坐标系之间的方向是非常重要的。
我们的做法还是从相对于每个坐标系的任意一点 PPP 出发，然后再确定 AP^APAP 和 BP^BPBP 之间的关系。我们仍然从两方面考虑：旋转和平移。
三维空间姿态描述
任何两个独立的正交坐标系都可以通过一系列（不超过3次）相对于坐标轴的旋转联系起来，但其中连续的两次旋转不能绕同一轴线。
——欧拉旋转定理
之前的图中显示了两个右手坐标系，其方向差异很大，我们如何相对于一个坐标系去表示另一个坐标系呢？可以想象一下，将坐标系 {A}\{A\}{A} 拿在我们手里旋转，直到与坐标系 {B}\{B\}{B} 方向一致。欧拉旋转定理指出，任何旋转都可以看作是由一系列相对不同坐标轴的旋转组合而成的。
首先考虑绕单个坐标轴的旋转。下图显示了一个右手坐标系，以及它绕不同坐标轴旋转不同角度的情形。
但绕坐标轴连续旋转就没那么简单了，其中存在一些微妙的变化。如下图所示，它演示了一个坐标系按不同的顺序旋转的情形。可以看到，虽然旋转角度相同，但最终得到的坐标系方向完全不同，它取决于旋转的顺序。这是三维世界里一个深奥且让人迷惑的特征，而且它曾困扰了数学家们很长一段时间。我们之前一直在讨论的位姿代数的意义就在于运算符 ⊕\oplus⊕ 是不可交换的，它体现了上述旋转顺序的重要性。下图中，在上面一排中坐标系先绕 xxx 轴旋转 π/2\pi/2π/2，然后绕 yyy 轴旋转 π/2\pi/2π/2。在下面一排旋转顺序正好颠倒了。两种旋转的结果明显不同。
数学家已经提炼出许多表示旋转的方法，我们之后会讨论其中几种：正交旋转矩阵，欧拉和卡尔丹角，旋转轴与角度，以及单位四元数。它们都可以表示为向量或矩阵，即MATLAB的自然数据类型，或者表示为机器人工具箱自定义的类。机器人工具箱中提供了许多函数可以将这些表示法相互转换，我们后面也会有介绍。
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