以洛谷p3912为例

题目描述

求 1,2,⋯,N 中素数的个数。

输入格式

一行一个整数 N。

输出格式

一行一个整数，表示素数的个数。

示例:

输入: 10
输出: 4
解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

解法一（检测）

一般只用于求是否为素数、质数。
思路：从头开始对数据依次进行判断，如果是质数则进行计数。有两个地方：

首先是判断一个数x是否是质数时，只需要检测到sqrt x

其次由于偶数本身肯定不是质数，自增步长为2
时间复杂度：O(n sqrt n )
空间复杂度：O(1)

bool zhishu(int n)
{if(n==2) return 1;for(int a=3;a<=sqrt(n);a++){if(n%a==0){return 0;}}return 1;
}

解法二（赋值）

1.也可以叫做埃氏筛
思路：基于空间换时间的思路，不对每个数值进行单独判断，而是直接从前到后，使用已知的质数对后面未知的数据进行排除，即将质数的倍数本身进行排除，剩下的就是质数本身了。

初始化保存质数的空间
若当前数值没被标记过则为质数，即将质数的倍数进行标记为非质数
时间复杂度：小于O(nlog(n))
空间复杂度：O(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,ans;
bool a[100000005]; int main()
{scanf("%d",&n);a[1]=1;for(int i=2;i*i<=n;i++){if(a[i]==0){for(int j=i*i;j<=n;j=j+i){a[j]=1;}}}for(int i=1;i<=n;i++){if(a[i]==0)ans++;}cout << ans<<endl;return 0;}

2.埃氏筛存在重复筛的情况，如30会被2(*15)、3(*10)和5(*6)筛三次。
如何更快速地筛出一定上限内的素数？
下面这种方法（欧拉筛）可以保证范围内的每个合数都被删掉（在 bool 数组里面标记为非素数），而且任一合数只被：
“最小质因数 × 最大因数（非自己） = 这个合数”
的途径删掉。由于每个数只被筛一次，时间复杂度为O(n)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;bool isPrime[100000010];
//isPrime[i] == 1表示：i是素数
int Prime[6000010], cnt = 0;
//Prime存质数、质数表 void GetPrime(int n)//筛到n
{memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));//以“每个数都是素数”为初始状态，逐个删去isPrime[1] = 0;//1不是素数for(int i = 2; i <= n; i++){if(isPrime[i])//没筛掉 Prime[++cnt] = i; //i成为下一个素数for(int j = 1; j <= cnt && i*Prime[j] <= n/*不超上限*/; j++) {//从Prime[1]，即最小质数2开始，逐个枚举已知的质数，并期望Prime[j]是(i*Prime[j])的最小质因数//当然，i肯定比Prime[j]大，因为Prime[j]是在i之前得出的isPrime[i*Prime[j]] = 0;if(i % Prime[j] == 0)//i中也含有Prime[j]这个因子break; //重要步骤。见原理}}
}int main()
{int n,ans=0;scanf("%d",&n);GetPrime(n);for(int i=1;i<=n;i++)if(Prime[i])ans++;printf("%d\n", ans);return 0;
}

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