分数阶偏微分差分方程MATLAB,分数阶偏微分方程及其数值方法.ppt
分数阶偏微分方程及其数值方法 郭柏灵 北京应用物理与计算数学研究所 定理6 设 (47) 为 阶分数阶ODE,令 (48) 为相应的指数多项式，令 (49) 则如 为最小整数， 为(47)的 个线性无关的解， 证明： 其中 为 的线性组合，可证 为(47)的解，利用 可得 也是解，再证 的线性无关性，利用Green函数可得。 定理7 设 在 上片断连续，可积和具指数阶 在 上，令 令 为分数阶Green函数，则 (50) 为(50)的唯一解。 §4 具时间分数阶波动方程边值问题的近似解 考虑如下问题 (51) 具初边界条件 (52) 其中 为 阶Caputo分数导数， (53) 定义8 函数 属于 类，如果 在 上连续， 定义9 阶Riemann-Liouville 积分算子 如 有 定义10 的 阶Caputo 分数导数定义为 其中 对于 有 (54) 用 作用于(51)两边，利用(54)可得 (56)代入(55)得 (55) 令 (56) (57) 由此可得 (58) 于是 其中 (59) 代入边界条件 可得 (60) 因此可得 (61) 分解法的收敛性是可以保证的。 于此可得初边值问题(51)(52)的精确解为 (62) 数值结果： 例1 (63) (64) 其中 为Mittag-Leffler函数 (65) (66) (68) 例2 (67) (70) 例3 (71) 其中 §5 二维分数阶色散方程的有限差分方法 考虑二维分数阶扩散(色散)方程 (72) (73) (74) 作差分近似 (75) 令 (76) 用隐式Euler近似 (77) (77)可写成 (78) 令 * §1 引言 所谓非正常动力系统，它一般含有非高斯概率函数，已出现在物理、化学、工程、地质、生物、经济、气象、大气等许多实问题中。 均方迁移的平均为 (1) 这里 为空间维数, 为的扩散常数。 当 时,为“正常”的，当 具有非正常 扩散指数，为亚扩散的(色散的，慢的)，当 时 为超扩散的(增高的，快的)。 弹道极限为波动方程所描述，它的向前向后模型 由Landau-Lifshiz于1984提出。 发展为湍流运动。一般研究亚弹道过程 。 以下列一表，表示正常布朗运动(BM)，分形布朗运动FBM等模型的情况 PDF Comments PDF Comments 1 生物系统 在单个生物细胞中，微球的运动转变为超扩散状态 ， 如图1、图2、图3。 2 亚扩散过程 亚扩散过程具有强记忆效应，它不像Markov过程，这个系统的现在状态依赖于整个历史状态。 等待时间 (2) 且有 2.1 分数阶扩散方程 (3) 为 的Laplace变换。 类似的典型的小范围跳跃长度 的Fourier变换，可得 (4) 对 的布朗运动由(4)可得 在亚扩散情况， ，具有 形式。因 (5) 由Riemann-Lionville 分数积分 由(4)可得 于此初始条件 代替函数， 由偏微分利用Riemann-Lionville分数阶算子 (7) (8) 可得分数阶扩散方程 (9) 由于 等价于 (10) 2.2 分数阶Fokher-Plank方程 分数阶Klein-Kramer方程 其中 Rayleigh流体方程 (11) (12) 分数阶Fohhe
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