导言

点集并非全都是不可测集。

回顾

可测集的概念，如果有集合TT满足以下公式，

m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)

m^{*}(T)=m^{*}(T \cap E )+m^{*}(T\cap E^c)
则称集合EE是Lebesgue可测集。其中TT被称为试验集，所有可测集的全体记作μ\mu
如图所示：

其中，m∗(T)m^{*}(T)的定义为：

m∗=inf{∑i=1∞|Ii|，T⊂⋃i=1∞Ii}

m^{*}=\inf \{\sum_{i=1}^{\infty} |I_i|，T \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}I_i \}

正文

现在我们将努力构造一个不可测的集合WW

材料准备：

选择公理
“若Γ\Gamma是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成”
- 等价关系
  
  需要满足自反，对称和传递
  即X~X
  若X~Y，则Y~X
  若X~Y，Y~Z，则X~Z
- 开始构造
  
  现在首先将RnR^n中，具有等价关系的集合分为一类，则可以得到很多个等价类，然后我们再使用选择公理，从每一类中选择一个元素，构成点集WW，那么这个WW就是我们要的不可测集，接下来说明为什么这样的WW是不可测集。
  
  解释说明
  
  如果WW是可测集，有两种可能m(W)>0m(W)>0或者M(W)=0M(W)=0。
  
  定理准备：
  
  2.19 设EE是RnR^n中的可测集，且m(E)>0,0<λ<1m(E)>0,0，则存在矩体II使得
  
  λ|I|<m(I∩E)
  
  \lambda |I|
  
  不难想象，无论λ\lambda如何取值，我都可以找到一个II，使得这个等式成立。即找到一个矩体，使得这个矩体与该矩体与EE交的部分的差距可以任意小。
  
  2.20 设EE是RnR^n中的可测集，且m(E)>0m(E)>0，做点集：
  
  E−E:{x−y,x,y∈E}
  
  E-E:\{x-y,x,y\in E\}则存在δ0>0\delta_0>0，使得E−E⊃B(0,δ0)E-E\supset B(0,\delta_0)
  即两个集合相减得到的点集有界。
  
  推导：
  m(W)>0m(W)>0的情况
  
  那么，在这里我们发不难发现，我们的WW满足2.20的条件，所以W−WW-W含在一个球体B(0,δ)B(0,\delta)之中，考虑集合(W−W)∩Qn(W-W) \cap Q^n，其中肯定有非0的元素xx，因为W−WW-W中是包含了一个球体的，而这个球体和QnQ^n一定会有相交的地方。从而有在W−WW-W中有非零的x存在。
  
  这也就是说，在WW中，有y和z，x=y-z，所以有y≠zy\neq z，也就是说，其中有y和z的差是有理数，那么y和z就应该在同一个等价类之中，从而在构建WW的时候，就要么有y，要么有z，而不可能同时存在！
  
  m(W)=0m(W)=0的情况
  
  在这种情况时，我们考虑能否将WW扩展到RnR^n。
  构造可列个平移集：
  
  W+{r(1)},{r(1),r(2),...,r(k),...}=Qn
  
  W+\{r^{(1)} \}, \{r^{(1)},r^{(2)},...,r^{(k)},... \}=Q^n
  显然有：
  
  Rn=⋃k=1∞(W+{r(k)})
  
  R^n=\bigcup_{k=1}^{\infty}(W+\{r^{(k)}\})
  注意这里，后面的这个 W+{r(k)}W+\{r^{(k)}\}其实是将所有的等价类还原。
  先从 WW中选取出一个元素x0x_0，它显然是一个等价类 D0D_0的代表元，任何的 y0∈D0y_0\in D_0都有 y0−x0=r(0)∈Qny_0-x_0 = r^{(0)} \in Q^ n，这时 y0=x0+r(0)y_0 = x_0+r^{(0)}，而如果我们要将所有以 x0x_0为代表元的等价类都表示出来的话，就要用 {x0}+Qn\{x_0\}+Q^n，而这里我们使用 W+QnW+Q^n就可以表示出所有的等价类，并且求并之后，得到的就是 RnR^n
  
  这是因为显然将所有的等价类都并在一起之后，得到的就是RnR^n，因为如果并在一起不为RnR^n的话，那么RnR^n的非等价类部分的元素，自己就可以构成一个等价类。
  
  综上所述，这样的W<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10847">W</script>显然真的就是一个不可测的集合。

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