1 正态分布与Z检验

1.1 理论

Z检验的目的是为了验证：已知一个总体服从均值，方差的正态分布，现在有一些样本，这些样本所代表的总体的均值是否为。

则构建一个统计量Z，

（1）

式中，为样本均值，为总体均值，为总体方差，n为样本数量。

若零假设（null hypothesis）成立，即：样本所代表的总体的均值为，则Z服从N(0, 1)。换一种说法就是统计量Z落在下图所示的标准正态分布概率密度函数的大概率区间，也就是白色区域所对应的横轴范围。

若Z落在阴影范围所对应的横轴区域，则假设不成立，阴影范围的选取与给定的显著性水平有关。

1.2 应用

工厂老板宣称生产的零件符合正态分布，质检部门抽检了100个样本，那么这些样本所代表的全部零件的均值，是否跟老板所说的正态分布均值一致。这个问题就可以通过Z检验验证，计算样本均值，将样本均值和样本数量代入式（1），看Z值落在横轴的什么区域，白色区域检验合格，黑色区域检验不合格。

2 卡方分布和卡方检验

2.1 自由度的概念

在讲卡方分布前，先要理解样本的自由度。举例说明：一个列表中有10个数字，我告诉你，这10个数字你可以随便写，那么这个列表中10个数字都是“自由的”，有10个自由度。如果我告诉你，这个列表的平均值是5，那么你前9个值你可以随便写，第10个数是固定的，因为必须满足我给定的平均值，这样一来，这个列表的自由度就是9了。

上面是一维的情况，如果推广到二维，看下面这个例子。

	化妆	不化妆	总数
男			100
女			100
总数	90	110

你调查了男生、女生各100人的化妆情况，上面四个空着的格子里，你只能随便写一个，剩下的三个必须根据总数来计算，所以这个例子中，四个空着的格子是4个样本，但是只有一个样本是“自由”的，所以自由度为1。自由度的计算公式：（行数 - 1）*（列数 - 1）

更加详细的自由度解释，参见这边文章：用可视化思维解读统计自由度 - 简书

2.2 卡方分布

卡方分布定义如下

2.3 卡方检验

卡方检验的目的是为了验证。两个事物之间是否有关系，还是拿自由度那里提到的男女化妆比例的例子来讲。现在想研究男女性别和是否化妆，这两件事是否相关。

假定不相关（这个就是零假设），也就是说，化妆和不化妆的人群中，男女所占的比例是相同的。在零假设中，样本的标准值就是下面这样：

	化妆	不化妆	总数
男	45	55	100
女	45	55	100
总数	90	110

随机抽样的样本结果如下

	化妆	不化妆	总数
男	X1	X2	100
女	X3	X4	100
总数	90	110

X1、X2、X3、X4为4个抽样样本，其数值分别为5、95、85、15。

构建如下式所示的一个统计量：

（2）

式中，表示第i个样本，表示第i个样本所对应的零假设值，k为样本数量

如果零假设成立，这个统计量服从自由度为n的卡方分布，化妆问题中，自由度为1，即自由度为1的卡方分布。

把样本数据代入式（2），发现其值落在了卡方分布的概率密度函数的小概率区间（与Z检验的原理类似），所以拒绝原假设。

2.4 卡方检验与卡方分布的关系

有读者看到这里会有疑问，为什么式（2）所构建的统计量服从卡方分布？

因为服从正态分布，也服从正态分布（正态分布的样本减去常数再除一个常数还服从正态分布），所以那个统计量就服从卡方分布啦，就是卡方分布的定义嘛！

这里再说明一个问题，为什么是服从正态分布的？

原假设中男性化妆和不化妆啊的概率为50%，那么100个男性中化妆的男性数量就满足正态分布了，就像扔硬币的正反面，下面的python代码直观给出了图像

import random
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pdplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 防止中文标签乱码，还有通过导入字体文件的方法
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsedef toss():# 1正面朝上return random.randint(0, 1)def toss_100_times():# 掷100次硬币正面朝上的次数times = 0for i in range(100):times += toss()return timesif __name__ == "__main__":result = []for i in range(1000):result.append(toss_100_times())count = pd.value_counts(result)count = pd.DataFrame(count)count = count.sort_index(ascending=True)labels = list(count.index)data = list(count.iloc[:, 0])plt.bar(range(len(data)), data)plt.xticks(range(len(data)), labels)plt.xlabel("100次投掷中正面朝上的硬币数")plt.ylabel("频次")plt.show()print("done")

3 t分布和t检验

3.1 t分布

3.2 t检验

t检验一方面可以理解为Z检验的扩展。Z检验中，要求总体方差已知，但是现实中往往未知。这种情况下，通过样本方差，来构造符合t分布的统计量，如式（3）所示，进行t检验。

式中，为样本均值，为总体均值，s为样本方差，n为样本数量。

为什么这个统计量符合t分布的定义？

详细的证明参见t分布是干什么用，t分布与t检验有什么不同，t检验到底在检验什么东西？ - 知乎

t检验还有配对t检验、两样本t检验，这里不详述了。

4 F分布与F检验

4.1 F分布

4.2 F检验

结合实例，直观理解正态分布、卡方分布、t分布、F分布和对应的Z检验、卡方检验、t检验、F检验相关推荐

f分布表完整图_【教育统计答疑】如何理解正态分布、均值分布、^2分布、t分布和F分布...
许多教育统计的初学者都表示这几个分布感到学起来非常吃力,结合最近上课的体会以及答疑的情况,觉得很有必要在这里简单地对这部分内容进行澄清和梳理,以助理解. 首先,"为什么要学习这几个分布&qu ...
机械学习07：常用统计分布：正态分布、T分布、卡方分布、F分布
目录 1.正态分布(高斯概率密度函数和概率分布函数) 2.t分布: 3.卡方分布 4.F 分布 1.正态分布(高斯概率密度函数和概率分布函数) 正态分布(Normal distribution)又名高 ...
正态分布，二维正态分布，卡方分布，学生t分布——概率分布学习 python
目录基本概念概率密度函数(PDF: Probability Density Function) 累积分布函数(CDF: Cumulative Distribution Function) 核密度估 ...
卡方分布、F分布、t分布和正态分布的关系
这三个分布都是基于正态分布变形得到的,在实际中只能用来做假设检验.比如卡方分布(chi-square distribution, χ²-distribution,或写作χ²分布),已知样本X都是服从正 ...
连续分布——正态分布、卡方分布、t分布、F分布
正态分布某一地区的人群生长环境相似,我们随机选20个男性,量出他们的身高,近似地服从正态分布. 正态分布,即高斯分布,是自然界最常见的数据分布了. 用均值.标准差来确定一个正态分布概率密度图.比如N ...
正态分布/卡方分布/F分布/T分布
正态分布: 正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution),若随机变量X服从一个数学期望为μ.方差为σ^2的高斯分布,记为N(μ,σ^2). ...
几大分布：正态分布、卡方分布、t分布、F分布整理
一.正态分布正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution),若随机变量X服从一个数学期望为μ.方差为σ2的高斯分布,记为N(μ,σ2).其 ...
数理统计四大分布---正态分布、卡方分布、学生t分布和F分布
在统计学上,我们会遇到一些常见的分布,除了正态分布外,,如t检验对应的t分布,检验对应的分布,方差分析对应的F分布等.这些分布是统计学的基础,在假设检验.方差分析等领域都起着至关重要的作用.在此,我们 ...
【随机过程】t分布、卡方分布、F分布、均匀分布、正态分布、指数分布、几何分布、二项分布、泊松分布、0-1分布等分布的分布律、期望、方差和特征函数汇总
分布分布律或概率密度期望方差特征函数 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q,0<p<1,p+q=1P(X=1)=p,P(X=0)=q,\\0<p<1,p+q= ...

结合实例，直观理解正态分布、卡方分布、t分布、F分布和对应的Z检验、卡方检验、t检验、F检验