三角魔法

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这道题简单来说，就是需要我们判断某个点是否在三角形内。题目给定我们三角形三个顶点的坐标以及一个待判断的点。

解决这个问题我们需要一些数学上的知识：叉积

我们设有向量:
a⃗=[x1y1z1]b⃗=[x2y2z2]\vec{a} = \begin{bmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{bmatrix} \vec{b} = \begin{bmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{bmatrix} a=⎣⎡x1y1z1⎦⎤b=⎣⎡x2y2z2⎦⎤
则他们的叉积为:
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗x1y1z1x2y2z2∣\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ x_1& y_1 &z_1 \\ x_2& y_2 &z_2 \end{vmatrix} a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣∣∣∣∣
我们知道叉积结果是具有几何意义的，参考这一张图：

叉积的结果是一个向量，这个向量垂直于向量a和b所在的平面，它的模就是a和b如上图围成的平行四边形的面积。

它的方向同ab满足右手螺旋法则即我们使用右手卷曲四指，四指先穿过a向量再穿过b向量，拇指指向即为结果向量的方向。

特殊的，在二维平面中，所有向量的竖坐标为零，则两个向量的叉积为：
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗x1y10x2y20∣=x1y2k⃗−x2y1k⃗=(x1y2−x2y1)k⃗\vec{a} \times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x_1&y_1&0\\ x_2&y_2&0 \end{vmatrix} =x_1y_2\vec{k} - x_2y_1\vec{k} = (x_1y_2 - x_2y_1)\vec{k} a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2k00∣∣∣∣∣∣=x1y2k−x2y1k=(x1y2−x2y1)k
依据这个式子我们根据(x₁y₂ - x₂y₁)的符号来判断向量的位置关系。

当(x₁y₂ - x₂y₁) < 0时a在b的左侧
当(x₁y₂ - x₂y₁) = 0时ab共线
当(x₁y₂ - x₂y₁) > 0时a在b的右侧

有了这样的铺垫，这道题我们就可以解决了。

首先，我们将三角形的三边看作是三个首尾相接的向量，像这样：

接着，我们从每个顶点向带判断的点构造一个向量：

对于每个顶点，我们将以他为始点的两个向量做叉积，根据符号，我们可以判断该点在这条边的那一侧。

可以知道的是，如果该点在所有边向量的同一侧，即所有叉积的值符号相同，那么这个点就在三角形内。如果其中出现叉积为0，那么该点就在某条边上。

由于题目中说到，位于边上的点也算作三角内，

所以我们只需要检测三个叉积中非零的符号即可。

最后，需要注意一种情况（这种情况卡了我n久），就是三点共线且点在该线上。

这个时候三个叉积都是零，排除这个情况，剩下的使用叉积就可以完美解决了。

考虑到，最多可能有连续的两个叉积为0（在顶点处），所以我们可以循环五次，照顾到所有相邻的叉积（主要是第一个和最后一个）

（注意中间不要爆long）

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;public class Solution1 {/*向量类*/class Vec{public long x;public long y;public Vec(long x,long y) {this.x = x;this.y = y;}/*向量叉积*/public long crossProduct(Vec v) {return x * v.y - y * v.x;}}public String castMagic(List<List<Integer>> triangle, int[] point) {// write your code hereVec[] vecTri = new Vec[3];Vec[] vecSig = new Vec[3];for(int i = 0;i < 3;i++) {vecTri[i] = new Vec((long)triangle.get((i + 1) % 3).get(0) - triangle.get(i).get(0),(long)triangle.get((i + 1) % 3).get(1) - triangle.get(i).get(1));vecSig[i] = new Vec((long)point[0] - triangle.get(i).get(0),(long)point[1] - triangle.get(i).get(1));}long flag = 0;for(int i = 0;i < 5;i++) {if(flag * vecTri[i % 3].crossProduct(vecSig[i % 3]) < 0) {return "No";}else {flag = sign(vecTri[i % 3].crossProduct(vecSig[i % 3]));}}if(vecTri[0].crossProduct(vecSig[0]) == 0 && vecTri[1].crossProduct(vecSig[1]) == 0 && vecTri[2].crossProduct(vecSig[2]) == 0)return "No";return "Yes";}/*符号判断*/private long sign(long a) {if(a == 0)return 0;return a > 0 ? 1 : -1;}
}

区间异或

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这个题目的主要难点在于快速的求出一个区间内的最大值和最小值。

使用线段树就可以解决这个问题啦。

纪念一下最后12分钟码完一棵线段树一A的神奇事件。最后一分钟一次提交通过是真的很爽！！

import java.util.List;public class Solution2 {class Node{public int l;public int r;public int max;public int min;public Node left;public Node right;}public int Intervalxor(int[] num, List<List<Integer>> ask) {Node root = new Node();create(num,1,num.length,root);int ans = 0;for(List<Integer> list : ask) {ans ^= getMax(root,list.get(0),list.get(1)) + getMin(root,list.get(2),list.get(3));}return ans;}private void create(int[] num, int l, int r,Node k) {// TODO Auto-generated method stubk.l = l;k.r = r;if(l == r) {k.max = num[l - 1];k.min = num[l - 1];return;}k.left = new Node();k.right = new Node();int mid = (l + r) >> 1;create(num,l,mid,k.left);create(num,mid + 1,r,k.right);k.max = Math.max(k.left.max, k.right.max);k.min = Math.min(k.left.min, k.right.min);}private int getMax(Node k,int l,int r) {if(k.l == l && k.r == r) {return k.max;}int mid = (k.l + k.r) >> 1;if(r <= mid)return getMax(k.left,l,r);else if(l > mid) return getMax(k.right,l,r);else return Math.max(getMax(k.left,l,mid), getMax(k.right,mid + 1,r));}private int getMin(Node k,int l,int r) {if(k.l == l && k.r == r) {return k.min;}int mid = (k.l + k.r) >> 1;if(r <= mid)return getMin(k.left,l,r);else if(l > mid) return getMin(k.right,l,r);else return Math.min(getMin(k.left,l,mid), getMin(k.right,mid + 1,r));}
}

五字回文

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这道题的难度不高，暴力枚举并验证即可。复杂度就是O(m)

需要注意的就是回文串需要时abcba型，即其中的前三个字符不能够相同。

import java.util.Scanner;public class Solution3 {public int Fivecharacterpalindrome(String s) {int ans = 0;for(int i = 0;i <= s.length() - 5;i++) {ans += check(s.substring(i, i + 5)) ? 1 : 0;}return ans;}private boolean check(String substring) {for(int i = 0;i < 2;i++) {if(substring.charAt(i) != substring.charAt(5 - i - 1)) {return false;}}return substring.charAt(0) != substring.charAt(1) && substring.charAt(0) != substring.charAt(2) && substring.charAt(1) != substring.charAt(2);}
}

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