【SPFA + DFS/BFS】最短路的一个拓展题

题目如下(By cwx)

【题目描述】 给你一张含有 n 个点 m 条边的联通无向图，记录 1 号点到每个点的最短路长度，询问
去掉与 i 号相邻的所有边后，1 号点到多少个点的最短路长度改变，若不连通则也视为改
变。
【输入数据】 第一行两个正整数 n,m, 接下来 m 行，每行三个正整数数 i,j,k，表示一条边<i,j>，长度为 k。
【输出数据】 N 行，第 i 行表示去掉与 i 号相邻的所有边后，1 号点到多少个点的最短路长度改变。
【输入样例】
2 1
1 2 1
【输出样例】
1
1
【数据约定】
30% n <= 100,m <= 300
100% n <= 5000,m <= 20000，边权均为不超过 100 的正整数。

1.裸做法

每次孤立一些边，重新做spfa

2.转化为求必经点

到点n的最短路的必经点由多条(可能只有1条)可至n的最短路的点取交集得到。

可以依次递推得到，但是取交集的过程需要消耗一些时间与空间复杂度。

3.改进

将到各个点的最短路孤立出来新建一个图(到任意点的所有最短路都要孤立出来)，且孤立出来的都是有向图，不妨设新图点数为N₂。

为什么可以这样呢？因为若一个点不在到任一其他点的最短路上，那么即使删去了它也不会影响到达其余任何点的长度。

<1.如果不孤立出来：

无论是写dfs还是bfs，松弛次数就会相当大，相比之下不如重新做一遍spfa，则又绕回了裸做法。

<2.如果孤立出来：

i.假设写dfs，就只需要求得在新图上除去某点后，最多能到达的点数，不妨设最多为N₃个点，则答案为N₂ – N₃。在线输出即可。

ii.假设写bfs，从要删的点开始，每扫到一个点就将其入度 -1 ，将入度为0的点进队。入度为0代表仅有唯一的一条已经被堵的最短路经过此点，于是将此点进队。所以最后队列的长度即为1号点到其他点最短路长度改变的个数。

其实主要算法就已经结束了，但是如何孤立出一个图却并没有讨论。事实上，利用第一次spfa的成果(dist数组)，当dist[u] + worth[i] == dist[point[i]]时，则此边必定是到某点的最短路上的边。

dfs的时间在0.5s一个点左右，bfs在0.02s一个点左右，若是理解上述算法，那么造成差异的原因应该是显然的啵

不过编程复杂度差不多，有兴趣的可以都写写

贴下我没缩行过的code吧

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <memory>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int maxn = 5000 + 5;
const int maxm = 20000 * 2 + 5;
const int status = 30000 + 5;typedef int INT[maxm];
typedef int INTT[maxn];int n, m, e(1), E(1), tnum(1);
INT ne, po; INTT ed;
INT next, point, worth;
INTT edge, dist, vp, tmp;
int s[status], L, R;void init(), spfa(), solve();
void newgraph(int), dfs(int, int);
void addedge(int, int, int), link(int , int);int main()
{freopen("spfa.in", "r", stdin);freopen("spfa.out", "w", stdout);init();spfa();solve();fclose(stdin); fclose(stdout);return 0;
}void init()
{cin >> n >> m;for (int i = 1, u, v, w; i <= m && scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); ++i)addedge(u, v, w), addedge(v, u, w);
}void addedge(int u, int v, int w)
{++e;point[e] = v; next[e] = edge[u]; edge[u] = e; worth[e] = w;
}void link(int u, int v)
{++E;po[E] = v; ne[E] = ed[u]; ed[u] = E;
}void spfa()
{memset(vp, 0, sizeof(vp));memset(dist, 127, sizeof(dist));for (L = R = 1, s[L] = vp[1] = 1, dist[1] = 0; L <= R; vp[s[L++]] = 0)for (int i = edge[s[L]]; i; i = next[i])if (dist[point[i]] > dist[s[L]] + worth[i]){dist[point[i]] = dist[s[L]] + worth[i];if (!vp[point[i]]) vp[point[i]] = 1, s[++R] = point[i];}
}void newgraph(int u)
{for (int i = edge[u]; i; i = next[i])if (dist[point[i]] == dist[u] + worth[i]){link(u, point[i]);if (!vp[point[i]]) { ++tnum; vp[point[i]] = 1; }newgraph(point[i]);}
}void dfs(int u, int limt)
{for (int i = ed[u]; i; i = ne[i]){if (po[i] == limt) continue;if (!tmp[po[i]]) tmp[po[i]] = 1, ++tmp[0],dfs(po[i], limt);}
}void solve()
{//1int tot = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i)if (dist[i] != dist[0]) ++tot;cout << tot << endl;//makegraphmemset(vp, 0, sizeof(vp));for (int i = 1; i <= n; ++i)if (!vp[i]) newgraph(i);//2for (int i = 2; i <= n; memset(tmp, 0, sizeof(tmp)), ++i)dfs(1, i), cout << tnum - 1 - tmp[0] << endl;
}

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