SMS-EMOA:基于超体积支配的多目标选择

参考文献：
《Nicola Beume, Boris Naujoks, Michael Emmerich：SMS-EMOA: Multiobjective selection based on dominated hypervolume》
《Multi-objective Optimisation using S-metric Selection: Application to three-dimensional Solution Spaces》

要点：

超体积测量（S度量）是一种常用的质量度量，用于比较进化多目标优化算法结果;
提出了基于超体积测量和非支配排序的选择算子的稳态EMOA;
该算法种群演化出一组分布良好的解，聚焦于帕累托前沿感兴趣区域。

一、介绍

质量指标来衡量帕累托前沿近似值的质量。其中，超体积测量或S度量是一个尤为重要的质量指标，它奖励向帕累托前沿的收敛以及沿前沿的代表性点分布。Λ表示勒贝格测度，那么S度量定义为：

此处，yref∈Rm表示一个参考点，该参考点应由所有帕累托最优解所支配。

Fleischer证明，给定有限的搜索空间和参考点，超体积测量的最大化等同于找到Pareto集。因此，对于一组给定有界的空间，最大S度量值可能仅由帕累托最优解组成。从经验上已经观察到，固定数量的点，超体积测量的最大化产生了Pareto前沿的子集，这些子集分布均匀。

本文作者提出的一种方法是根据候选解对超体积的贡献来选择候选解。

二、S度量选择(SMS-)EMOA

SMS-EMOA借鉴了其他EMOA的思想，如著名的NSGA-II和诺尔斯等人提出的归档策略。这是一个基于两个支柱的稳态算法：

非支配排序被用作等级评判标准；
超体积用作选择标准以丢弃最差等级前沿上对超体积贡献最小的个体。

1、SMS-EMOA细节

SMS-EMOA基本算法在算法1中描述。首先从μ个个体的初始种群开始，通过随机变异算子生成一个新个体。如果用S度量测出，用新个体替换另一个个体可以产生更高质量的种群，则新个体将成为下一代种群的成员。

算法2中描述从子种群中选择μ个个体的Reduce过程。

从最差等级前沿中剔除一个个体，其中，ΔS表示个体s对相应前沿的S度量值的唯一贡献，有最小ΔS值的个体被剔除。

此度量保留那些使总体S度量值最大化的个体，因此，以下不等式恒成立。

2、SMS-EMOA的选择变体

支配点数d(s,P(t))是集合P(t)中支配点s的点数，形式上：

算法3中给出了一个改进的Reduce过程。支配点数d(s,P(t))被用作选择标准，当P(t)的所有个体都是非支配时，ΔS被应用。如果群体由多个前沿组成，则在最差等级前沿的解中具有最高d(s,P(t))值的个体被丢弃。否则，所有个体的d(s,P(t))值等于零，使用ΔS选择。

开发这种度量的一个动机是，与超体积测量相比，运行时复杂性更小。此外，这样做的动机是为了获得支配解的不同等级以加强解空间中稀疏区域的填充。在这里，个体被保留了几代，以填补帕累托近似前沿的空白。贡献超体积用于将解很好地分布在他们所在的前沿。虽然最终目的是在第一个非支配前沿很好地分布解，但这并不是其他前沿的目的。d(s,P(t))措施对位于较好的前沿且个体稀少的区域的解有利。想法是，后代解可能会上升到更好的前沿，并填补这些空缺。

如上图所示。贡献的超体积度量支持y8而不是y9，但是d(s,P(t))度量支持y9，因为只有一个支配点。y9显然要有趣得多，因为第一前沿上y5和y6之间的空缺很大。

3、贡献超体积ΔS的计算

在两个目标的情况下，取排名最差的非支配前沿的点，并根据第一个目标函数f1的值以升序对它们进行排序，得到一个关于f2值降序的序列，因为点是相互非支配的。

三目标情况下，第三个目标被视为长方体的高度。如果一个解支配它的右下角，这个解被称为弱支配一个单元。这些弱支配解被用来计算长方体的高度。高度是最佳和第二最佳f3值的差值。体积为每个单元格面积×高度。如图所示，贡献是体积的累加。

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