效用最大化问题中的三个函数——需求函数、间接效用函数、支出函数
需求函数:
性质:关于所有价格和收入零次齐次性(所有商品价格与收入乘以t倍),最优化需求数量保持不变。
- CES需求函数
CES需求函数的函数形式为:
U(x,y)=xδδ+yδδU(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}U(x,y)=δxδ+δyδ
构造朗格朗日表达式:
f=xδδ+yδδ+λ(I−pxx−pyy)f = \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}+\lambda(I-p_xx-p_yy)f=δxδ+δyδ+λ(I−pxx−pyy)
求偏导数得到一阶条件:
{∂f∂x=xδ−1−λpx=0∂f∂x=xδ−1−λpx=0∂f∂λ=I−pxx−pyy=0\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda}=I-p_xx-p_yy=0 \end{array} \right. ⎩⎨⎧∂x∂f=xδ−1−λpx=0∂x∂f=xδ−1−λpx=0∂λ∂f=I−pxx−pyy=0
根据上式求得需求函数:
{x=Ipx(1+(pxpy)δ1−δ)y=Ipy(1+(pypx)δ1−δ)\left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y})^{\frac{\delta}{1-\delta}})}\\ y= \frac{I}{p_y(1+(\frac{p_y}{p_x})^{\frac{\delta}{1-\delta}})} \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=px(1+(pypx)1−δδ)Iy=py(1+(pxpy)1−δδ)I
从上式看出我们确实可以得到一个对于任意δ\deltaδ的CES函数的需求函数。但是个人建议,由于CES函数有不同的“形式”(比如说U=(α1x1ρ+α2x2ρ)1ρU=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}}U=(α1x1ρ+α2x2ρ)ρ1也是一种CES函数,所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中,建议重复上述证明步骤,用构造拉格朗日表达式,利用一阶条件来求解需求函数)
当δ→∞\delta \rightarrow ∞δ→∞的时候,此时为完全互补效用函数,利用消费者为了效用最大化只会选择L型无差异曲线顶点消费的特征来直接求解,就不用构造朗格朗日表达式了。
除此之外,联系弹性和之前讲过的替代弹性(点击链接回顾)的概念,我们不难发现,δ=0\delta=0δ=0,即替代弹性σ=11−δ\sigma=\frac{1}{1-\delta}σ=1−δ1等于1为分界线。举例说明:当δ=0.5\delta=0.5δ=0.5的时候x=Ipx(1+(pxpy))x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y}))}x=px(1+(pypx))I,此时商品x花费的收入份额为pxx/I=1/[1+(px/py)]p_xx/I=1/[1+(p_x/p_y)]pxx/I=1/[1+(px/py)]不是常数,pxp_xpx越高,x的相对价格越高,它所花费的收入份额就越小。换言之,x的需求对其价格的反应就非常敏感,价格的上升减少了x的总花费。不过收入的变化并不影响消费份额。
- 柯布道格拉斯需求函数
柯布-道格拉斯效用函数的表达式为:
U(x,y)=xαyβ(α+β=1)U(x,y)=x^\alpha y^\beta(\alpha+\beta=1) U(x,y)=xαyβ(α+β=1)
同样可以利用朗格朗日法来算出需求函数,由于过程重复,在此不做赘述,得到如下的结果:
{x=αα+β∗Ipx=αIpxy=βα+β∗Ipy=βIpy\left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_x}=\frac{\alpha I}{p_x}\\ y= \frac{\beta}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_y} = \frac{\beta I}{p_y} \end{array} \right. {x=α+βα∗pxI=pxαIy=α+ββ∗pyI=pyβI
由此我们得到一个重要的结论,在柯布道格拉斯效用函数情形下,消费者会花费α/(α+β)\alpha/(\alpha+\beta)α/(α+β)比例的收入去购买商品x,用β/(α+β)\beta/(\alpha+\beta)β/(α+β)的比例去购买y。上述的结论是需要背诵的。
间接效用函数:
所谓间接效用函数,指的是在预算约束条件下,消费者希望得到的最大效用将会间接地取决于购买商品的价格以及消费者的收入。
即
最大效用=U[x1∗(p1,...,pn,I),x2∗(p1,...,pn,I),...,xn∗(p1,...,pn,I)]=V(p1,p2,..pn,I)最大效用 = U[x_1^*(p_1,...,p_n,I),x_2^*(p_1,...,p_n,I),...,x_n^*(p_1,...,p_n,I)]=V(p_1,p_2,..p_n,I) 最大效用=U[x1∗(p1,...,pn,I),x2∗(p1,...,pn,I),...,xn∗(p1,...,pn,I)]=V(p1,p2,..pn,I)
间接效用函数才是更加符合大家的理解的,即效用水平最终还是取决于消费者的收入和所购买的商品的价格。就像人们往往关注的是自己的钱包和物价水平,而不是我消费了多少。
利用间接效用函数我们可以得到一个非常重要的结论:一次总付原则
一次总付原则指的是对消费者的一般购买力征税(补贴),比对特定的物品征税(补贴)更好。
- 从直观上理解,就是对收入税或收入补贴存在时,消费者可以自由决定如何分配他的最终收入。但是,对特定商品征税或补贴,在降低消费者购买力的同时,由于引入了人为的价格,也扭曲了人们的选择。
- 从图形角度理解:
这个图解成立的关键是,无论是对特定商品征税还是对购买力征税,预算约束线都通过了图中的(x1,y1)这个点(x_1,y_1)这个点(x1,y1)这个点
- 举例说明:
在固定比例的情形下,由于消费者的偏好过于刚性,消费税并没有扭曲消费者的选择,所以此时对特定商品征税(补贴)与对购买力征税(补贴)效果是一样的。
支出函数
支出函数:消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下,要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出,即:
最小支出=E(p1,p2,...,pn,U)最小支出=E(p_1,p_2,...,p_n,U) 最小支出=E(p1,p2,...,pn,U)
支出函数和间接效用函数是互为反函数关系,都取决于市场价格,但受到的约束缺不同(一个为收入,一个为效用)。
补偿价格:消费者如何补偿价格变化的,当商品价格变化时,一般都会改变消费者的效用。于是我们会问,消费者应当补偿多少钱才能消除这个影响。在支出函数中,我们把效用视为常数(与后面的补偿性需求曲线结合,留个坑),它为我们估算补偿金额提供了一个直接的方法。
支出函数具有如下的性质:
- 齐次性:支出函数是所有价格的“一次齐次函数”。
- 支出函数关于价格单调不降。
- 支出函数是价格的凹函数(证明见下图)。
效用最大化问题中的三个函数——需求函数、间接效用函数、支出函数相关推荐
- 编写函数 int min(int x ,int y,int z),实现求出三个数中的最小值。要求在main函数中输入三个整数,然后调用min函数,最后将求得的最小值输出。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int min(int x,int y,int z){ int s; s= ...
- C语言试题二十五之编写一个函数float function(double h),函数的功能使对变量h中的值保留2位小数,并对第三位进行四舍五入(规定h中的值位正数)。
1. 题目 编写一个函数float function(double h),函数的功能使对变量h中的值保留2位小数,并对第三位进行四舍五入(规定h中的值位正数). 2 .温馨提示 C语言试题汇总里可用于 ...
- C函数参数中的三个点
原文链接一:http://hi.baidu.com/wjun520/blog/item/1678a11da07fe68086d6b653.html C++中有函数重载这种方法,以供我们调用时要可以不确 ...
- python中主函数循环_python入门(三):分支、循环、函数详解
1.分支 if循环格式: if condition_1: statement_block_1 elif condition_2: statement_block_2 else: statement_b ...
- C语言编程>第十八周 ⑧ 给定程序中,函数fun的功能是:将形参指针所指结构体数组中的三个元素按num成员进行升序排列。
例题:给定程序中,函数fun的功能是:将形参指针所指结构体数组中的三个元素按num成员进行升序排列. 注意:请勿改动主函数main与其他函数中的任何内容,仅在横线上填写所需的若干表达式或语句. 代码如 ...
- C语言试题三十一之判断字符串是否为回文?若是则函数返回1,主函数中输出yes,否则返回0,主函数中输出no。回文是指顺读和倒读都是一样的字符串。
1. 题目 请编写函数function,该函数的功能是:判断字符串是否为回文?若是则函数返回1,主函数中输出yes,否则返回0,主函数中输出no.回文是指顺读和倒读都是一样的字符串. 2 .温馨提示 ...
- 摄影测量(计算机视觉)中的三角化方法
提到三角化大家都十分熟悉,在CV 领域中,由像点计算物点的过程称为三角化,但在摄影测量领域,其称作为前方交会.值得注意的是单张影像是无法恢复像点的三维坐标,至少需要两张影像才能得到像素点的真实坐标(这 ...
- Python开发【第三篇】:文件操作与函数
内容概要 文件操作 初始函数 函数定义与调用 函数的返回值 函数的参数 函数进阶 函数参数--动态传参 名称空间 作用域 函数的嵌套 函数名的运用 gloabal,nonlocal 关键字 1.文件操 ...
- oracle hash join outer,CSS_浅谈Oracle中的三种Join方法,基本概念
Nested loop join:
Outer - phpStudy...
浅谈Oracle中的三种Join方法 基本概念 Nested loop join: Outer table中的每一行与inner table中的相应记录join,类似一个嵌套的循环. Sort mer ...
最新文章
- 腾讯 AI Lab 开源业内最大规模多标签图像数据集
- ORU-10027: buffer overflow, limit of 10000 bytes
- 索尼诺基亚持股公司告赢苹果,获300万美元赔偿
- Java基础之Hibernate
- 机器学习(MACHINE LEARNING)MATLAB模拟排队论
- 单臂路由的配置及应用:
- 电脑模拟器哪个好_《英雄聯盟:激鬥峽谷》电脑版哪个安卓模拟器好用?《英雄聯盟:激鬥峽谷》手游电脑版怎么玩...
- 18春东师计算机应用基础,东师计算机应用基础18春在线作业31.docx
- 如何在一天内被Google和百度收录
- 12行代码AC-Leecode 598. 范围求和 II——Leecode每日一题系列
- Dapper在.Net中的使用(二)
- vba循环通过键盘某个按键按下退出循环_[VBA]For Next与Do Loop循环
- 苹果/安桌点歌系统代码
- endnotex8使用教程_「endnote教程」EndNote x8基础使用教程(一) - seo实验室
- hdu5745La Vie en rose
- 用uni-app制作首页幻灯片
- springBoot2学习
- 实现74LVC161的计数器功能
- dubbo注册服务5秒一个解决办法
- 智能卡CPU卡开卡指令
热门文章
- 自学Python:按照日期自动分类照片
- 软件工程项目——大学生综测评分计算管理系统
- 人和人之间的距离有多远
- Android 创建单独的服务运行在后台(无界面)
- 移动端页面有滚动条但是无法滚动的问题
- 量化噪声的大小与什么成正比_什么叫 量化噪声?什么叫 量化白噪声?
- 搭建公司内部论坛 只需简单三步 1 (安装Discuz)
- 薛定谔的猫量子计算机,亚马逊新的量子计算机设计竞依赖于微小的“薛定谔的猫”...
- 电脑蓝屏代码和解决方案
- android蓝牙传文件,安卓手机怎样使用蓝牙连接传输文件