激活函数以0为中心的好处

激活函数讲解：https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-10-23

今天在讨论神经网络中的激活函数时，陆同学提出 Sigmoid 函数的输出不是以零为中心的（non-zero-centered），这会导致神经网络收敛较慢。关于这一点，过去我只是将其记下，却并未理解背后的原因。此篇谈谈背后的原因。

神经元

如图是神经网络中一个典型的神经元设计，它完全仿照人类大脑中神经元之间传递数据的模式设计。大脑中，神经元通过若干树突（dendrite）的突触（synapse），接受其他神经元的轴突（axon）或树突传递来的消息，而后经过处理再由轴突输出。

在这里，诸 xi 是其他神经元的轴突传来的消息，诸 wi 是突触对消息的影响，诸 wixi 则是神经元树突上传递的消息。这些消息经由神经元整合后（z(x→;w→,b)=∑iwixi+b）再激活输出（f(z)）。这里，整合的过程是线性加权的过程，各输入特征 xi 之间没有相互作用。激活函数（active function）一般来说则是非线性的，各输入特征 xi 在此处相互作用。

Sigmoid 与 tanh

此篇集中讨论激活函数输出是否以零为中心的问题，因而不对激活函数做过多的介绍，而只讨论 Sigmoid 与 tanh 两个激活函数。

Sigmoid 函数

Sigmoid 函数的一般形式是

$\sigma(x; a) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-ax}}.$

这里，参数 a 控制 Sigmoid 函数的形状，对函数基本性质没有太大的影响。在神经网络中，一般设置 a=1，直接省略。

Sigmoid 函数的导数很好求 σ′(x)=σ(x)(1−σ(x)).

tanh 函数

tanh 函数全称 Hyperbolic Tangent，即双曲正切函数。它的表达式是

$\tanh(x) = 2\sigma(2x) - 1 = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}.$

双曲正切函数的导数也很好求

$\tanh'(x) = 1 - \tanh^2(x).$

一些性质

Sigmoid 和 tanh 两个函数非常相似，具有不少相同的性质。简单罗列如下

优点：平滑
优点：易于求导
缺点：幂运算相对耗时
缺点：导数值小于 1，反向传播易导致梯度消失（Gradient Vanishing）

对于 Sigmoid 函数来说，它的值域是 (0,1)，因此又有如下特点

优点：可以作为概率，辅助模型解释
缺点：输出值不以零为中心，可能导致模型收敛速度慢

此篇重点讲 Sigmoid 函数输出值不以零为中心的这一缺点。

收敛速度

这里首先需要给收敛速度做一个诠释。模型的最优解即是模型参数的最优解。通过逐轮迭代，模型参数会被更新到接近其最优解。这一过程中，迭代轮次多，则我们说模型收敛速度慢；反之，迭代轮次少，则我们说模型收敛速度快。

参数更新

深度学习一般的学习方法是反向传播。简单来说，就是通过链式法则，求解全局损失函数 L(x→) 对某一参数 w 的偏导数（梯度）；而后辅以学习率 η，向梯度的反方向更新参数 w。

$w \gets w - \eta\cdot\frac{\partial L}{\partial w}.$

考虑学习率 η 是全局设置的超参数，参数更新的核心步骤即是计算 ∂L∂w。再考虑到对于某个神经元来说，其输入与输出的关系是

$f(\vec x; \vec w, b) = f(z) = f\Bigl(\sum_iw_ix_i + b\Bigr).$

因此，对于参数 wi 来说，

$\frac{\partial L}{\partial w_i} = \frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_i} = x_i \cdot \frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}.$

因此，参数的更新步骤变为

$w_i \gets w_i - \eta x_i\cdot \frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}.$

更新方向

由于 wi 是上一轮迭代的结果，此处可视为常数，而 η 是模型超参数，参数 wi 的更新方向实际上由 xi⋅∂L∂f∂f∂z 决定。

又考虑到 ∂L∂f∂f∂z 对于所有的 wi 来说是常数，因此各个 wi 更新方向之间的差异，完全由对应的输入值 xi 的符号决定。

以零为中心的影响

至此，为了描述方便，我们以二维的情况为例。亦即，神经元描述为

$f(\vec x; \vec w, b) = f\bigl(w_0x_0 + w_1x_1 + b\bigr).$

现在假设，参数 w0, w1 的最优解 w0∗, w1∗ 满足条件

$\begin{cases}w_0 < w_0^{*}, \\ w_1\geqslant w_1^{*}.\end{cases}$

这也就是说，我们希望 w0 适当增大，但希望 w1 适当减小。考虑到上一小节提到的更新方向的问题，这就必然要求 x0 和 x1 符号相反。

但在 Sigmoid 函数中，输出值恒为正。这也就是说，如果上一级神经元采用 Sigmoid 函数作为激活函数，输入x0和x1的符号相同，那么我们无法做到 x0 和 x1 符号相反。此时，模型为了收敛，不得不向逆风前行的风助力帆船一样，走 Z 字形逼近最优解。（为什么会走z，因为w0和w1的更新方向总是相同，可以理解为每次更新都是同时增大或者同时减少，因此每次迭代的方向都是最新点的第一和第三象限）

如图，模型参数走绿色箭头能够最快收敛，但由于输入值的符号总是为正，所以模型参数可能走类似红色折线的箭头。如此一来，使用 Sigmoid 函数作为激活函数的神经网络，收敛速度就会慢上不少了。