【随机过程】作业 5 布朗Brown运动

1. 设{B(t),0≤t}\{B(t),0 \leq t\}{B(t),0≤t}为标准的布朗运动，求Σk=130B(k)的分布\Sigma_{k=1}^{30}B(k)的分布Σk=130B(k)的分布

求所求分布的期望
求所求分布的方差
求所求分布的类型为什么分布
解：

2. 设{W(t),0≤t}\{W(t),0 \leq t\}{W(t),0≤t}为标准布朗运动，随机变量R~N(0,6)与随机过程{W(t),0≤t}\{W(t),0 \leq t\}{W(t),0≤t}独立，定义随机过程X(t)=W(t)+R,t>0X(t) = W(t)+R,t>0X(t)=W(t)+R,t>0

求随机过程{X(t),t>0}的协方差，及X(3)与X(5)的协方差
求随机过程{X(t),t>0}的特征函数，及X(6)在6处的特征函数值
求X(5)和R的相关系数

（1）因为W(t)服从正态分布N(0,t),R服从正态分布N(0,6)
所以X(t) = W(t)+R也服从正态分布N(0,t+6)
当s<t时
cov(s,t)=E(X(s)X(t))=E(W(s)+R)(W(t)+R)=E(W(s)W(t)+R2)cov(s,t) = E(X(s)X(t)) = E(W(s)+R)(W(t)+R) = E(W(s)W(t)+R^2)cov(s,t)=E(X(s)X(t))=E(W(s)+R)(W(t)+R)=E(W(s)W(t)+R2)
=E(W(s)(W(t)−W(s)+W(s)))+6=E(W(s)2)+6=s+6= E(W(s)(W(t)-W(s)+W(s)))+6= E(W(s)^2)+6 = s+6=E(W(s)(W(t)−W(s)+W(s)))+6=E(W(s)2)+6=s+6
所cov(3,5) = 3+6 =9

（2）因为X(t)也服从正态分布N(0,t+6)，根据正态分布的特征函数公式知道
g(t)=eiut−1σ2t22g(t) = e^{iut-\frac{1 \sigma ^2 t^2}{2}}g(t)=eiut−21σ2t2
g(6)=e−(t2+6t)22g(6) =e^{-\frac{(t^2+6t)^2 }{2}} g(6)=e−2(t2+6t)2
当t=6
g(6)=e−(72)22g(6) =e^{-\frac{(72)^2 }{2}} g(6)=e−2(72)2

（3）因为W(t)服从正态分布N(0,t),R服从正态分布N(0,6)
根据相关系数公式
ρXR=Cov(Xs,R)DXsDR\rho_{XR} =\frac{Cov(X_s,R)}{\sqrt{DX_s} \sqrt{DR}} ρXR=DXsDRCov(Xs,R)
其中Cov(Xs,R)=EXR−EXsER=EXR=E((W(t)+R)R)=E(WR+R2)=ER2Cov(X_s,R) = E_{XR} -EX_sER = EXR =E((W(t)+R)R)=E(WR+R^2) =ER^2Cov(Xs,R)=EXR−EXsER=EXR=E((W(t)+R)R)=E(WR+R2)=ER2
所以当求X5X_5X5和R的相关系数，DX5=5+6=11,DR=6，Cov(X5,R)=6DX_5 = 5+6=11,DR = 6，Cov(X_5,R) =6DX5=5+6=11,DR=6，Cov(X5,R)=6
ρXR=Cov(Xs,R)DXsDR=6116\rho_{XR} =\frac{Cov(X_s,R)}{\sqrt{DX_s} \sqrt{DR}} = \frac{6}{\sqrt{11} \sqrt{6}}ρXR=DXsDRCov(Xs,R)=1166

3. 设{W(t),0≤t}\{W(t),0 \leq t\}{W(t),0≤t}为标准布朗运动，定义随机过程X(t)=t+W3t,0≤tX(t) = t+W_{3t},0 \leq tX(t)=t+W3t,0≤t

计算x10,X40x_{10},X_{40}x10,X40的相关系数
设标准正态分布的分布函数为ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)，且ϕ(1)=0.841,ϕ(2)=0.977\phi(1) = 0.841,\phi (2)=0.977ϕ(1)=0.841,ϕ(2)=0.977，计算X12X_{12}X12小鱼等于24的概率。
给出X20X_{20}X20的特征函数，且在1/20处的值等于多少？

（1）因为W(t)服从标准正态分布N（0,1），W(3t)W(3t)W(3t)服从正态分布N（0,3t）
又X=t+W3tX =t+W_3tX=t+W3t
则X服从正态分布N（t,3t）
根据相关系数公式ρX10X40=Cov(X10,X40)DX10DX40\rho_{X_{10}X_{40}} =\frac{Cov(X_{10},X_{40})}{\sqrt{DX_{10}} \sqrt{DX_{40}}} ρX10X40=DX10DX40Cov(X10,X40)
其中但s<t时，Cov(XsXt)=EXsXt−EXsEt=E(st+W3sW3t)−st=W(W3sW3t)=E(W3s(W3t−W3s+W3s))=EW3s2=3ss<t时，Cov(X_{s}X_{t}) = EX_sX_t - EX_sE_t =E(st +W_{3s}W_{3t})-st = W(W_{3s}W_{3t}) =E(W_{3s}(W_{3t}-W_{3s}+W_{3s})) =EW_{3s}^2 =3ss<t时，Cov(XsXt)=EXsXt−EXsEt=E(st+W3sW3t)−st=W(W3sW3t)=E(W3s(W3t−W3s+W3s))=EW3s2=3s
则Cov(X10X40)=3∗10=30Cov(X_{10}X_{40}) =3*10=30Cov(X10X40)=3∗10=30
DX10=3∗10=30，DX40=3∗40=120D_{X_10} =3*10=30，D_{X_40} =3*40 = 120DX10=3∗10=30，DX40=3∗40=120
ρX10X40=3030120\rho_{X_{10}X_{40}} =\frac{30}{\sqrt{30} \sqrt{120}} ρX10X40=3012030

（2）因为X12=12+W36∼N（12,36）X_{12} =12+W_{36} \sim N（12,36）X12=12+W36∼N（12,36）化为标准正态分布Y=X12−126∼N(0,1)Y = \frac{X_{12} -12}{6} \sim N(0,1)Y=6X12−12∼N(0,1)
p(X12⩽24)=p(X12−126⩽24−126)=p(Y⩽2)=Φ(2)=0.977p(X_{12} \leqslant 24) = p(\frac{X_{12} -12}{6} \leqslant \frac{24-12}{6}) = p(Y \leqslant 2 ) = \Phi(2) = 0.977p(X12⩽24)=p(6X12−12⩽624−12)=p(Y⩽2)=Φ(2)=0.977

（3）因为Xt∼(t,3t)，X10∼(10,30)，X40∼(40,120)X_t \sim (t,3t)，X_{10} \sim (10,30)，X_{40} \sim (40,120)Xt∼(t,3t)，X10∼(10,30)，X40∼(40,120)
所以根据正态分布的概率密度公式fx=12πσe−(x−u)22σ2fx = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma }e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}fx=2πσ1e−2σ2(x−u)2
fX10X40=12π30∗120e−(x−10)260−(x−40)2240f_{X_{10}X_{40}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{30*120}}e^{-\frac{(x-10)^2}{60}-\frac{(x-40)^2}{240}}fX10X40=2π30∗1201e−60(x−10)2−240(x−40)2

（4）因为X20∼N(20,60)X_{20}\sim N(20,60)X20∼N(20,60)
根据正态分布的特征函数公式
g(t)=eiut−σ2t22g(t) = e^{iut - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}g(t)=eiut−2σ2t2
得到X20的特征函数为g(t)=e20it−30t2X_{20}的特征函数为g(t) = e^{20it - 30 t^2}X20的特征函数为g(t)=e20it−30t2

设{B(t),0≤t}\{ B(t),0 \leq t\}{B(t),0≤t}为标准布朗运动

求B(4),B(5)的联合概率密度函数
求B(4)+B(5)的分布
设x为任意实数，求B(4)=x的条件下B(5)的条件密度函数gx(y)=fB(5)∣[B(4)=x](y)g_x(y) = f_{B(5)|[B(4)=x]}(y)gx(y)=fB(5)∣[B(4)=x](y)，且当x=y=1时，条件概率密度等于多少？

第三问不会

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