第七章 Brown运动(1)

1.Brown运动的基础信息

Brown运动：令B=(B(t),t≥0)\boldsymbol B=(B(t),t\ge 0)B=(B(t),t≥0)是实数值随机过程，如果满足

初始值：B(0)=0B(0)=0B(0)=0；
独立增量：如果0<t1<t2<⋯<tk0<t_1<t_2<\cdots<t_k0<t1<t2<⋯<tk，则B(t1),B(t2)−B(t1),⋯,B(tk)−B(tk−1)B(t_1),B(t_2)-B(t_1),\cdots,B(t_k)-B(t_{k-1})B(t1),B(t2)−B(t1),⋯,B(tk)−B(tk−1)相互独立；
平稳增量：如果s<ts<ts<t，那么B(t)−B(s)B(t)-B(s)B(t)−B(s)与B(t−s)B(t-s)B(t−s)同分布；
正态性：对任何t>0t>0t>0，有B(t)∼N(0,σ2t)B(t)\sim N(0,\sigma^2 t)B(t)∼N(0,σ2t)。

则称B=(B(t),t≥0)\boldsymbol B=(B(t),t\ge0)B=(B(t),t≥0)为参数为σ2\sigma^2σ2的Brown运动。当σ2=1\sigma^2=1σ2=1时称作标准Brown运动，以下均讨论标准Brown运动。

Brown运动的相关信息如下：

μ(t)=EB(t)=0,D(B(t))=t,EB(t)m=tk(2k−1)!!,m=2k,k∈N+\mu(t)=EB(t)=0,D(B(t))=t,EB(t)^m=t^k(2k-1)!!,m=2k,k\in \N^+μ(t)=EB(t)=0,D(B(t))=t,EB(t)m=tk(2k−1)!!,m=2k,k∈N+。，由B(t)∼N(0,t)B(t)\sim N(0,t)B(t)∼N(0,t)可以直接推得。
rB(s,t)=min⁡(s,t)r_B(s,t)=\min(s,t)rB(s,t)=min(s,t)，由其独立增量性可以证明。
Brown过程是正态过程，其多维分布是
(B(t1),B(t2),⋯,B(tn))∼N(0,Σn)Σn=(min⁡(titj))n×n(B(t_1),B(t_2),\cdots,B(t_n))\sim N(\boldsymbol 0, \boldsymbol \Sigma_n)\\ \boldsymbol \Sigma_n=(\min(t_it_j))_{n\times n} (B(t1),B(t2),⋯,B(tn))∼N(0,Σn)Σn=(min(titj))n×n
Brown的每一条样本曲线都是处处连续但无处可微的。

如果随机过程X\boldsymbol XX的任意线性组合为正态随机变量，那么X\boldsymbol XX是正态过程，反之也成立；如果实数值正态过程X=(X(t),t≥0)\boldsymbol X=(X(t),t\ge 0)X=(X(t),t≥0)满足E(X(t))=0,rX(s,t)=min⁡(s,t)E(X(t))=0,r_X(s,t)=\min(s,t)E(X(t))=0,rX(s,t)=min(s,t)，那么X\boldsymbol XX一定是标准Brown运动，这可以用于证明随机过程是Brown过程。以下几种都是标准Brown运动的形式：

给定t0≥0t_0\ge 0t0≥0，定义X(t)X(t)X(t)为
X(t)=B(t+t0)−B(t0),t≥0;X(t)=B(t+t_0)-B(t_0),\quad t\ge 0; X(t)=B(t+t0)−B(t0),t≥0;
给定常数ccc，定义X(t)X(t)X(t)为
X(t)=1cB(ct),t≥0;X(t)=\frac 1{\sqrt c}B(ct),\quad t\ge0; X(t)=c1B(ct),t≥0;
定义X(t)X(t)X(t)为
X(t)={tB(t−1),t>0;0,t=0.X(t)=\left\{ \begin{array}l tB(t^{-1}),&t>0;\\ 0,&t=0. \end{array} \right. X(t)={tB(t−1),0,t>0;t=0.

2.与Brown运动相关的随机过程

Brown桥运动为B0=(B0(t),0≤t≤1)\boldsymbol B^0=(B^0(t),0\le t\le 1)B0=(B0(t),0≤t≤1)，其中
B0(t)=B(t)−tB(1),0≤t≤1.B^0(t)=B(t)-tB(1),\quad 0\le t\le 1. B0(t)=B(t)−tB(1),0≤t≤1.
显然有E(B0(t))=0,D(B0(t))=t(1−t)E(B^0(t))=0,D(B^0(t))=t(1-t)E(B0(t))=0,D(B0(t))=t(1−t)，且E(B0(s)B0(t))=min⁡(s,t)(1−max⁡(s,t))E(B^0(s)B^0(t))=\min(s,t)(1-\max(s,t))E(B0(s)B0(t))=min(s,t)(1−max(s,t))。

注意到B0(0)=B0(1)=0B^0(0)=B^0(1)=0B0(0)=B0(1)=0，因此Brown桥运动又称为绑在0，1上的Brown运动。
反射Brown运动为X=(X(t),t≥0)\boldsymbol X=(X(t),t\ge 0)X=(X(t),t≥0)，其中
X(t)=∣B(t)∣,t≥0.X(t)=|B(t)|,\quad t\ge 0. X(t)=∣B(t)∣,t≥0.
这里X(t)X(t)X(t)仅取非负实数值，不再是正态过程了，可以计算X(t)X(t)X(t)的概率密度函数与相关数字特征为
p(x;t)=2πte−x22tI(x≥0);E(X(t))=2πt∫0∞xe−x22tdx=2tπ∫0∞e−xdx=2tπ.D(X(t))=E(X(t)2)−[EX(t)]2=E(B(t)2)−2tπ=π−2πt.p(x;t)=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}I(x\ge0);\\ \begin{aligned} E(X(t))=&\sqrt{\frac{2}{\pi t}}\int_0^\infty xe^{-\frac{x^2}{2t}}dx\\ =&\sqrt{\frac{2t}{\pi}}\int_0^\infty e^{-x}dx\\ =&\sqrt{\frac{2t}{\pi}}.\\ \\ D(X(t))=&E(X(t)^2)-[EX(t)]^2\\ =&E(B(t)^2)-\frac{2t}{\pi}\\ =&\frac{\pi-2}{\pi}t. \end{aligned} p(x;t)=πt2e−2tx2I(x≥0);E(X(t))===D(X(t))===πt2∫0∞xe−2tx2dxπ2t∫0∞e−xdxπ2t.E(X(t)2)−[EX(t)]2E(B(t)2)−π2tππ−2t.
几何Brown运动为X=(X(t),t≥0)\boldsymbol X=(X(t),t\ge0)X=(X(t),t≥0)，其中
X(t)=eαt+βB(t),t≥0,β>0.X(t)=e^{\alpha t+\beta B(t)},\quad t\ge 0,\beta>0. X(t)=eαt+βB(t),t≥0,β>0.
这里X(t)X(t)X(t)仅取非负实数值，不再是正态过程，可以计算X(t)X(t)X(t)的概率密度函数和数字特征为
F(x;t)=P(X(t)≤x)=P(B(t)≤ln⁡x−αtβ)=Φ(ln⁡x−αtβt);p(x;t)=F′(x;t)=12πe−(ln⁡x−αt)22βtt⋅1xβt=1βx2πte−(ln⁡x−αt)2/2β2tI(x>0).EX(t)=Eeαt+βB(t)=eαtEeβB(t)=eαt+12β2t;E(X(t)2)=Ee2αt+2βB(t)=e2αtEe2βB(t)=e2αt+2β2t;\begin{aligned} F(x;t)=&P(X(t)\le x)\\ =&P(B(t)\le\frac{\ln x-\alpha t}{\beta})\\ =&\Phi\left(\frac{\ln x-\alpha t}{\beta \sqrt t}\right);\\ \quad\\ p(x;t)=&F'(x;t)\\ =&\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(\ln x-\alpha t)^2}{2\beta^tt}}\cdot\frac{1}{x\beta \sqrt t}\\ =&\frac{1}{\beta x\sqrt {2\pi t}}e^{-(\ln x-\alpha t)^2/2\beta^2t}I(x>0).\\ \quad \\ EX(t)=&Ee^{\alpha t+\beta B(t)}\\ =&e^{\alpha t}Ee^{\beta B(t)}\\ =&e^{\alpha t+\frac12\beta^2t};\\ \quad \\ E(X(t)^2)=&Ee^{2\alpha t+2\beta B(t)}\\ =&e^{2\alpha t}Ee^{2\beta B(t)}\\ =&e^{2\alpha t+2\beta^2 t}; \end{aligned} F(x;t)===p(x;t)===EX(t)===E(X(t)2)===P(X(t)≤x)P(B(t)≤βlnx−αt)Φ(βtlnx−αt);F′(x;t)2π1e−2βtt(lnx−αt)2⋅xβt1βx2πt1e−(lnx−αt)2/2β2tI(x>0).Eeαt+βB(t)eαtEeβB(t)eαt+21β2t;Ee2αt+2βB(t)e2αtEe2βB(t)e2αt+2β2t;
这里用到正态分布的矩母函数：若X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，则EetX=eμt+12σ2t2Ee^{tX}=e^{\mu t+\frac12\sigma^2t^2}EetX=eμt+21σ2t2。
积分过程。对于Brown运动而言，几乎每条样本曲线都连续，即存在一个零概率时间Ω0\Omega_0Ω0，使得对于每一个ω∈Ω∖Ω0\omega\in \Omega\setminus\Omega_0ω∈Ω∖Ω0，B(t,ω)B(t,\omega)B(t,ω)作为ttt的函数在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)都连续，于是定义
X(ω,t)=∫0tB(ω,s)ds,ω∈Ω∖Ω0.X(\omega,t)=\int_0^t B(\omega,s)ds, \quad\omega\in \Omega\setminus\Omega_0. X(ω,t)=∫0tB(ω,s)ds,ω∈Ω∖Ω0.
的积分是Riemann积分，它存在并有限。记
X(t)=∫0tB(s)ds,t≥0,X(t)=\int_0^t B(s)ds,\quad t\ge0, X(t)=∫0tB(s)ds,t≥0,
称X=(X(t),t≥0)\boldsymbol X=(X(t),t\ge0)X=(X(t),t≥0)为积分过程，它是一个正态过程，并且
EX(t)=∫0tEB(s)ds=0,t≥0,rX(s,t)=E(X(s)X(t))=∫0s∫0tE(B(u)B(v))dudv=∫0s∫0tmin⁡(u,v)dudv=∫0s∫usudvdu+∫0s∫0uvdvdu+∫st∫0svdudv=s36+s36+s(t2−s2)2=st22−s36,s≤t\begin{aligned} EX(t)=&\int_0^t EB(s)ds=0,\quad t\ge0,\\ \quad\\ r_\boldsymbol X(s,t)=&E(X(s)X(t))\\ =&\int_0^s \int_0^t E(B(u)B(v))dudv\\ =&\int_0^s \int_0^ t \min(u,v) dudv\\ =&\int_0^s\int_u^sudvdu+\int_0^s\int_0^u vdvdu+\int_s^t\int_0^s v dudv\\ =&\frac{s^3}6+\frac{s^3}{6}+\frac{s(t^2-s^2)}{2}\\ =&\frac{st^2}{2}-\frac{s^3}{6},\quad s\le t \end{aligned} EX(t)=rX(s,t)======∫0tEB(s)ds=0,t≥0,E(X(s)X(t))∫0s∫0tE(B(u)B(v))dudv∫0s∫0tmin(u,v)dudv∫0s∫usudvdu+∫0s∫0uvdvdu+∫st∫0svdudv6s3+6s3+2s(t2−s2)2st2−6s3,s≤t

3.最大值与首中时

最大值：对于任意给定的ttt，令Mt=max⁡n≤s≤tB(s)M_t=\max\limits_{n\le s\le t}B(s)Mt=n≤s≤tmaxB(s)，就称MtM_tMt是Brown在[0,t][0,t][0,t]内的最大值。

首中时：对于任意给定的非零实数aaa，令Ta=inf⁡{t≥0:B(t)=a}a.s.T_a=\inf\{t\ge0:B(t)=a\}\text{ a.s.}Ta=inf{t≥0:B(t)=a} a.s.，就称TaT_aTa是aaa的首中时。

反射原理：固定实数aaa，令
B^(t)={B(t),t<Ta;2a−B(t),t≥Ta.\hat B(t)=\left\{ \begin{array}l B(t), &t<T_a;\\ 2a-B(t),&t\ge T_a. \end{array} \right. B^(t)={B(t),2a−B(t),t<Ta;t≥Ta.
则B^(t)\hat B(t)B^(t)也是一个Brown运动。

对于任意给定的t>0t>0t>0，有Mt=d∣B(t)∣M_t\stackrel d= |B(t)|Mt=d∣B(t)∣。

P(Mt>x)=P(Mt>x,B(t)>x)+P(Mt>x,B(t)<x)P(M_t>x)=P(M_t>x, B(t)>x)+P(M_t>x,B(t)<x) P(Mt>x)=P(Mt>x,B(t)>x)+P(Mt>x,B(t)<x)
这里P(Mt>x,B(t)>x)=P(B(t)>x)P(M_t>x,B(t)>x)=P(B(t)>x)P(Mt>x,B(t)>x)=P(B(t)>x)是显然的。

要证明P(Mt>x,B(t)<x)=P(Mt>x,B(t)>x)P(M_t>x,B(t)<x)=P(M_t>x,B(t)>x)P(Mt>x,B(t)<x)=P(Mt>x,B(t)>x)，如果Mt>xM_t>xMt>x，则必定存在一个时刻 s∈(0,t)s\in(0,t)s∈(0,t)使得B(s)=xB(s)=xB(s)=x，即Tx<tT_x<tTx<t且B(Tx)=xB(T_x)=xB(Tx)=x。将坐标原点平移到此处，由于X(t)=B(t+Tx)−B(Tx)X(t)=B(t+T_x)-B(T_x)X(t)=B(t+Tx)−B(Tx)是一个Brown运动，所以此时P(B(t)−x>0)=P(B(t)−x<0)P(B(t)-x>0)=P(B(t)-x<0)P(B(t)−x>0)=P(B(t)−x<0)，得证。

对于首中时TaT_aTa，用fa(t)f_a(t)fa(t)表示它的密度函数，则有
fa(t)=∣a∣2πt3/2e−a2/2tI(t>0).f_a(t)=\frac{|a|}{\sqrt {2\pi}t^{3/2}}e^{-a^2/2t}I(t>0). fa(t)=2πt3/2∣a∣e−a2/2tI(t>0).
不妨设a>0a>0a>0，对任意t>0t>0t>0有
P(Ta≤t)=P(Mt≥a)=2π∫a∞1te−x2/2tdxfa(t)=dP(Ta≤t)dt=−12π∫a∞1t3/2e−x2/2tdx+12π∫a∞x2t5/2e−x2/2tdx∫a∞1t3/2e−x2/2tdx=−at3/2e−a2/2t+∫a∞x2t5/2e−x2/2tdxfa(t)=a2πt3/2e−a2/2tP(T_a\le t)=P(M_t\ge a)=\sqrt\frac{2}{\pi}\int_a^\infty \frac{1}{\sqrt t}e^{-x^2/2t}dx\\ \begin{aligned} &f_a(t)\\=&\frac{dP(T_a\le t)}{dt}\\ =&-\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_a^\infty \frac1{t^{3/2}}e^{-x^2/2t}dx+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^\infty\frac{x^2}{t^{5/2}}e^{-x^2/2t}dx\\ \\ &\int_a^\infty \frac{1}{t^{3/2}}e^{-x^2/2t}dx\\=&-\frac a{t^{3/2}}e^{-a^2/2t}+\int_a^\infty \frac{x^2}{t^{5/2}}e^{-x^2/2t}dx\\ \quad\\ f_a(t)=&\frac{a}{\sqrt{2\pi}t^{3/2}}e^{-a^2/2t} \end{aligned} P(Ta≤t)=P(Mt≥a)=π2∫a∞t1e−x2/2tdx===fa(t)=fa(t)dtdP(Ta≤t)−2π1∫a∞t3/21e−x2/2tdx+2π1∫a∞t5/2x2e−x2/2tdx∫a∞t3/21e−x2/2tdx−t3/2ae−a2/2t+∫a∞t5/2x2e−x2/2tdx2πt3/2ae−a2/2t
对a<0a<0a<0时类似证明，得到fa(t)f_a(t)fa(t)的密度函数。

由此可以验证：
P(Ta<∞)=lim⁡t→∞P(Ta≤t)=lim⁡t→∞P(Ma≥a)=lim⁡n→∞2π∫a∞1te−x2/2tdx=lim⁡n→∞2π∫a∞e−(x/t)22d(x/t)=lim⁡n→∞2π∫a/t∞e−m2/2dm=2π∫0∞e−m2/2dm=1ETa=∫0∞tfa(t)dt=∣a∣2π∫0∞1te−a2/2tdt=∞\begin{aligned} P(T_a<\infty)=&\lim\limits_{t\to \infty }P(T_a\le t)\\ =&\lim_{t\to \infty }P(M_a\ge a)\\ =&\lim_{n\to \infty }\sqrt{\frac 2\pi}\int_a^\infty \frac{1}{\sqrt t}e^{-x^2/2t}dx\\ =&\lim_{n\to \infty }\sqrt {\frac2\pi}\int_a^\infty e^{-\frac{(x/\sqrt t)^2}{2}}d(x/\sqrt t)\\ =&\lim_{n\to \infty}\sqrt {\frac 2\pi}\int_{a/\sqrt t}^\infty e^{-m^2/2}dm\\ =&\sqrt {\frac2\pi}\int_0^\infty e^{-m^2/2}dm=1\\ \\ ET_a=&\int_0^\infty tf_a(t)dt\\ =&\frac{|a|}{\sqrt {2\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt t}e^{-a^2/2t}dt\\ =&\infty \end{aligned} P(Ta<∞)======ETa===t→∞limP(Ta≤t)t→∞limP(Ma≥a)n→∞limπ2∫a∞t1e−x2/2tdxn→∞limπ2∫a∞e−2(x/t)2d(x/t)n→∞limπ2∫a/t∞e−m2/2dmπ2∫0∞e−m2/2dm=1∫0∞tfa(t)dt2π∣a∣∫0∞t1e−a2/2tdt∞

也就是∀a∈R\forall a\in \R∀a∈R，无论aaa离原点多远，Brown运动都会在有限时间内到达；但无论aaa离原点多近，Brown到达aaa的平均时间都为∞\infty∞。

令a<0<ba<0<ba<0<b，那么
P(Ta<Tb)=bb−a,P(Ta>Tb)=∣a∣b−aP(T_a<T_b)=\frac b{b-a},P(T_a>T_b)=\frac{|a|}{b-a} P(Ta<Tb)=b−ab,P(Ta>Tb)=b−a∣a∣

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10.第七章 Brown运动(1)

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1.Brown运动的基础信息

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