最小割问题-Karger‘s algorithm

上一篇文章我们提到了最小割问题，最小割问题在研究网络最薄弱环节相关问题上具备广泛应用。而这个问题如今也依旧是一个open problem。而今天我们就介绍一种求解最小割问题的概率型算法-Karger's algorithm。该算法是karger读博期间发现的一种非常简单的算法。

其核心步骤就是我们随机在图上找两个点进行 constraction 合并操作。如下图所示：

注意2,3由于合并为了一个点，所以2 3两点之间的边我们就当做没有了，同时要消除由于合并形成的自环。

重复上述步骤到图只剩下两个点为止。

是的，这就是全部的步骤，是不是太简单了？同学们肯定好奇，这么简单，开玩笑，能有用吗？

接下来我们就分析一下这个算法到底能不能有用。

为了方便起见，我们就假设我们上面的分法就是最小割的情形了。红色虚线我们成为交叉边(cross edges),我们假设交叉边一共有k条，总共的边一共是m条，即最小割为k。

Lemma 1：图中每个顶点的度至少为k。

Proof：一个顶点的度意为该顶点有多少条边。由于最小割为k，那么我们总能将图中的顶点分成这样的一种情况，即我们目标的顶点在A，其余剩下的点全部在B，由于最小割是k，所以该顶点至少有k条边。证毕

我们继续考虑，什么情况下我们的算法能够成功呢？如果某一个步中我们constraction的边恰好是交叉边呢？显然，如果是这种情况，那么本来应该分别在A B中的点就会在同一边，算法失败。所以，算法成功的条件必须是每一步算法都选到不是交叉边的边合并。

Lemma 2：第一步成功的概率为

Proof: 共计m条边，其中k条是交叉边，我们是随机选择的。证毕

为了方便我们假设代表第i次选中交叉边的事件。由于我们最后需要剩下两个点，而每一次合并操作会减少一个点，因此我们成功的概率可以表示为

实际上每一步的选择都是一个马尔科夫过程，至于当前状态有关。

注意，合并操作每一步并不是减少一条边哈，只能保证点的个数减少1。因此我们分析的时候尽量考虑与点的个数发生关系。

我们把所有点的度加总起来应该是边数目的两倍。这个很好理解，考虑两点之间的一条线，每个点的度都为1，度的和为2，边的数目为1。

即。 Lemma 1中我们知道每个点的度至少为k，即,于是。

我们继续分析

问题的关键是我们要知道第一次选择后，还剩下多少边？我们知道合并一次之后点肯定从n 变成了n-1,所以根据度的关系，我们知道剩下的边与节点度之和的关系依旧为：

，于是

综上所述，

化简得到。

而我们执行一次该算法的复杂度为,该算法复杂度只与边有关系。

我们执行N次该算法，则全部失败的概率为

我们设,

设,

意味着我们只要重复次数足够大，也能求解到最小割。

注：文中合并示意图来源于如下微博：

http://blog.kongfy.com/2015/02/kargermincut/

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