AI入门:不用任何公式把主成分分析讲清楚
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本文所有思路都来自 Luis Serrano 的油管视屏「Principle Component Analysis (PCA)」,纯纯的致敬!
PCA 是无监督学习中的最常见的数据降维方法,但实际问题特征很多的情况,PCA 通常会预处理来减少特征个数。
1
提问:如果给我们 5 个人照相,照相机应该放在哪?
回答:放在图中打钩的地方,因为人脸面对照相机正面分布最开,最容易把所有人脸都照进来。
思考:人脸分布最开 ≈ 数据方差最大?
2
试想预测房价的场景,假如我们用 5 个特征来预测房价,它们是
房间面积
房间个数
卧室个数
周边好学校个数
周边犯罪率
但仔细一看,这 5 个特征可以抽象成 2 个,前三个都在讨论「尺寸」而后两个都在讨论「环境」。那么是否可以把这 5 维特征降到 2 维特征呢?
3
5 维数据太难可视化,人还是最容易可视化 2 维数据。
给定 2 维数据,如果向两条线上做投影,应该选择投影后数据分得更开的那条线。试想假如接下来做分类是不是更容易些?
将这 2 维特征实例化为房间面积和房间个数,它们通常成正比关系。假设我们找到一条向上的直线,将这 2 维特征投影到该直线上,如下图。
特征房间面积和房间个数有些重复了,因此把它们降到 1 维也没有丢失太多信息,如下图。
4
场景有了,直觉也有了,那么我们该看看 PCA 背后的数学原理了。其实非常简单,你只用知道均值、方差、协方差这三个基本统计概念就行了。原谅我这次必须要带点公式,但我相信现在小孩应该能懂。
均值
均值不要太简单,自己看图,我不解释了行吗?
方差
方差的概念稍微难些。方差是衡量数据和其均值的偏离程度。如上图上半部分,两组数据的均值都为 0 ,而第二组数据的方差 (50/3) 大于第一组数据的方差 (2/3),因此第二组数据更加分散些。
同理,看上图下半部分,数据投影到 x 轴上的方差大于数据投影到 y 轴上的方差。
最后给出计算 N 个数据的方差极简公式 (将每个数据的值减去其均值,平方后再求平均)
X 方差 = 加总(Xi - 均值)2 / N
Y 方差 = 加总(Yi - 均值)2 / N
接着来看两组数据,它们具有相同的方差 (投影到 x 轴和 y 轴),但是这两组数据的模式非常不同,一个趋势向下,一个趋势向上。
这样看来,光靠方差是不能准确描述不同的数据模式了,是时候该介绍协方差了。
协方差
首先给出计算 N 个数据的协方差极简公式 (将数据 X 值和 Y 值相乘,再求平均)
协方差 = 加总(Xi × Yi) / N
这样当
协方差 > 0, 趋势向上,X 和 Y 正相关
协方差 < 0, 趋势向下,X 和 Y 负相关
协方差 ≈ 0, 无明显趋势,X 和 Y 不相关
最后把所计算的均值、方差、协方差汇总成协方差矩阵。
协方差矩阵
对于 2 维数据,它的协方差矩阵是 2×2 的对称矩阵。类比一下,
对于 5 维数据,它的协方差矩阵是 5×5 的对称矩阵。
对于 D 维数据,它的协方差矩阵是 D×D 的对称矩阵。
根据上面数据模式,我们计算出来他的协方差矩阵为
[ 9, 4
4, 3 ]
我们发现,
数据在 x 轴上的方差 9 大于数据在 y 轴上的方差 3,合理!
X 和 Y 正相关,协方差为 4,合理!
5
我们知道矩阵其实就是线性转换,那么
矩阵 × 向量 1 = 向量 2
就是把向量 1 线性转换成向量 2。
不懂?没关系,跟着上图,试着用矩阵 [9, 4; 4, 3] 来转换几个标准点
(0, 0) → (0, 0)
(1, 0) → (9, 4)
(0, 1) → (4, 3)
(-1, 0) → (-9, -4)
(0, -1) → (-4, -3)
那么圆形被该矩阵转换成向上的椭圆形。
6
在以上线性转换中,有两个非常重要的向量,它们方向不变,长度改变。这样的向量称为特征向量,对应向量的长度称为特征值。如下图所示。
红色和青色向量是特征向量,它们方向不变。而黄色向量不是特征向量,它们方向变了。
求特征向量和特征值的方法就不细说了,就是解一个方程
矩阵 × 向量 = 常数 × 向量
你看,等式左边是用矩阵相乘将向量做了线性转化,而等式右边是用常数相乘将向量做了放缩 (没改变向量的方向哦)。
7
讲完特征向量和特征值后,我们可以介绍 PCA 的操作了,一句话,PCA 将数据投影到特征向量 (主成分) 上,而特征值代表数据投影后的方差大小。
因此降维操作可是看成是选择特征值比较大的几个主成分作为特征。如上图,我们只保留了第一个主成分 (特征值 11),而去除了第二个主成分 (特征值 1)。
这样 2 维数据就变成了 1 维数据。因此第二个主成分的特征值 1 比第一个主成分特征值 11 小很多,那么将其去除不会丢失太多信息的。 从下面两图也可以看出。
总结
回到开始的场景,来总结一下 PCA 的完整操作。
一开始我们有 5 维特征,分别是房间面积、房间个数、卧室个数、周边好学校个数和周边犯罪率。
这 5 维特征可以体现在一个 5D 图中,虽然我们无法精准的把它画出来。
计算协方差矩阵,5 维特征得到 5×5 的对称矩阵。
求出特征向量和特征值,将特征值从大到小排序,去除明显比较小 (这个需要点主观判断) 的,假设去除了后三个,保留了前两个。
这 2 维特征可以体现在一个 2D 图中,我们人类终于可以可视化它了。
当然原来「5 维特征的数据表」缩减成了「2 维特征的数据表」,希望这 2 维体现的是抽象的尺寸特征和环境特征,就像开头那张图一样。
觉得好就帮我传播这个看不懂算我输系列咯,谢谢大家!
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