Leetcode1690. 石子游戏 VII[C++题解]：带有博弈论的区间dp

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题目分析
- 状态表示
- 状态转移
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题目分析

补充博弈论的做题想法：让最坏情况下最好。在很多决策中，考虑所有的最坏情况，选其中最好的一个。

本题分析：
刚开始因为是个贪心题目，两个人每次从两侧选择最小的，这样不是每个人不是最优的嘛，结果发现不是。所以这不是一道贪心题。

本题是到区间dp的题目：

状态表示

f[i][j]f[i ][j ]f[i][j]表示当前局面是 stones[i,j]stones[i, j]stones[i,j]的话，先手减后手的得分的最大值

答案是f[1,n]f[1,n]f[1,n]表示当前局面是 stones[1，n]stones[1，n]stones[1，n]的话，先手减后手的得分的最大值

状态转移

下面分析状态转移:

对于 局面stones[i,j]stones[i, j]stones[i,j]，先手A有两种取法:

如果A先取 i ：先手得分是s[i+1,j](其中s表示求和)s[i+1,j] (其中s表示求和)s[i+1,j](其中s表示求和)，此时后手的局面是 stones[i+1,j]stones[i+1, j]stones[i+1,j],后手也是极端聪敏的人，会选择对自己最有利的，此时对于B而言他是先手，他的最优解是f[i+1,j]f[i+1,j]f[i+1,j]，此时f[i+1,j]f[i+1,j]f[i+1,j]存的是B-A(先手- 后手)的最大值。

我们考虑Alice的最坏情况，是什么呢？就是A-B的最小值，等价转换就是后手B的最大值，即f[i+1,j]f[i+1,j]f[i+1,j] 。所以A先选i 的话，最坏情况下的分值为是s[i+1,j]−f[i+1,j]是s[i+1,j]-f[i+1,j]是s[i+1,j]−f[i+1,j].

如果A先选j，同理，A的得分是s[i,j−1]s[i,j-1]s[i,j−1]，此时后手局面是 stones[i,j−1]stones[i, j-1]stones[i,j−1],B的最优解 f[i,j−1]f[i, j-1]f[i,j−1]，A的最坏情况下得分就是s[i,j−1]−f[i,j−1]s[i,j-1]-f[i,j-1]s[i,j−1]−f[i,j−1]

总的情况是：先手A最坏情况要求最好，对上面两个式子取max。

所以，状态转移方程：
f[i][j]=max(s(i+1,j)−f[i+1][j],s(i,j−1)−f[i][j−1])f[i][j] = max ( s(i+1,j)-f[i+1][j],s(i,j-1)-f[i][j-1])f[i][j]=max(s(i+1,j)−f[i+1][j],s(i,j−1)−f[i][j−1])
这里s为求和，可以使用前缀和优化，如下代码这里s为求和，可以使用前缀和优化，如下代码这里s为求和，可以使用前缀和优化，如下代码

ac代码

class Solution {public:int stoneGameVII(vector<int>& stones) {int n=stones.size();vector<int> s(n+1); //前缀和数组：下标从1开始for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+stones[i-1];//因为stone下标从0开始vector<vector<int>> f(n+1,vector<int>(n+1)); //二维数组f大小//区间dp先枚举区间长度for(int len=2;len<= n ;len ++){//再枚举左端点for(int i=1;i+len-1<=n;i++){int j=i+ len -1 ; //右端点f[i][j]= max(s[j] -s[i] - f[i+1][j], s[j-1]-s[i-1]-f[i][j-1]); //转移}}return f[1][n];}
};

二维vector声明大小请参考笔者另外一篇博客文章：二维vector的声明和初始化

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Leetcode1690. 石子游戏 VII