回溯算法详解之全排列、N皇后问题

回溯算法详解

回溯算法框架。解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题：

1、路径：也就是已经做出的选择。
2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。
3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。

如果你不理解这三个词语的解释，没关系，我们后面会用「全排列」和「N 皇后问题」这两个经典的回溯算法问题来帮你理解这些词语是什么意思，

代码方面，回溯算法的框架：

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):if 满足结束条件:result.add(路径)returnfor 选择 in 选择列表:做选择backtrack(路径, 选择列表)撤销选择

其核心就是for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单

一、全排列问题

我们在高中的时候就做过排列组合的数学题，我们也知道 n 个不重复的数，全排列共有 n! 个。

PS：为了简单清晰起见，我们这次讨论的全排列问题不包含重复的数字

那么我们当时是怎么穷举全排列的呢？比方说给三个数 [1,2,3]，你肯定不会无规律地乱穷举，一般是这样：

先固定第一位为 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位变成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能变化第一位，变成 2，然后再穷举后两位……

其实这就是回溯算法，我们高中无师自通就会用，或者有的同学直接画出如下这棵回溯树：

只要从根遍历这棵树，记录路径上的数字，其实就是所有的全排列。我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」

为啥说这是决策树呢，因为你在每个节点上其实都在做决策。比如说你站在下图的红色节点上：

你现在就在做决策，可以选择 1 那条树枝，也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢？因为 2 这个树枝在你身后，这个选择你之前做过了，而全排列是不允许重复使用数字的。

现在可以解答开头的几个名词：[2] 就是「路径」，记录你已经做过的选择；[1,3] 就是「选择列表」，表示你当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层，在这里就是选择列表为空的时候。

如果明白了这几个名词，可以把「路径」和「选择」列表作为决策树上每个节点的属性，比如下图列出了几个节点的属性：

我们定义的 backtrack 函数其实就像一个指针，在这棵树上游走，同时要正确维护每个节点的属性，每当走到树的底层，其「路径」就是一个全排列。

再进一步，如何遍历一棵树？这个应该不难吧。多叉树的遍历框架就是这样：

void traverse(TreeNode root) {for (TreeNode child : root.childern)// 前序遍历需要的操作traverse(child);// 后序遍历需要的操作
}

而所谓的前序遍历和后序遍历，他们只是两个很有用的时间点，我给你画张图你就明白了：

前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。

回想我们刚才说的，「路径」和「选择」是每个节点的属性，函数在树上游走要正确维护节点的属性，那么就要在这两个特殊时间点搞点动作

现在，你是否理解了回溯算法的这段核心框架？

for 选择 in 选择列表:# 做选择将该选择从选择列表移除路径.add(选择)backtrack(路径, 选择列表)# 撤销选择路径.remove(选择)将该选择再加入选择列表

我们只要在 递归之前做出选择，在递归之后撤销刚才的选择，就能正确得到每个节点的选择列表和路径。

下面，直接看全排列代码：

List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();/* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {// 记录「路径」LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();backtrack(nums, track);return res;
}// 路径：记录在 track 中
// 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素
// 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {// 触发结束条件if (track.size() == nums.length) {res.add(new LinkedList(track));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 排除不合法的选择if (track.contains(nums[i]))continue;// 做选择track.add(nums[i]);// 进入下一层决策树backtrack(nums, track);// 取消选择track.removeLast();}
}

我们这里稍微做了些变通，没有显式记录「选择列表」，而是通过 nums 和 track 推导出当前的选择列表：

至此，我们就通过全排列问题详解了回溯算法的底层原理。当然，这个算法解决全排列不是很高效，应为对链表使用 contains 方法需要 O(N) 的时间复杂度。有更好的方法通过交换元素达到目的，但是难理解一些，这里就不写了，有兴趣可以自行搜索一下。

二、N 皇后问题

简单解释一下：给你一个 N×N 的棋盘，让你放置 N 个皇后，使得它们不能互相攻击。

PS：皇后可以攻击同一行、同一列、左上左下右上右下四个方向的任意单位。

这个问题本质上跟全排列问题差不多，决策树的每一层表示棋盘上的每一行；每个节点可以做出的选择是，在该行的任意一列放置一个皇后。

直接套用框架:

vector<vector<string>> res;/* 输入棋盘边长 n，返回所有合法的放置 */
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {// '.' 表示空，'Q' 表示皇后，初始化空棋盘。vector<string> board(n, string(n, '.'));backtrack(board, 0);return res;
}// 路径：board 中小于 row 的那些行都已经成功放置了皇后
// 选择列表：第 row 行的所有列都是放置皇后的选择
// 结束条件：row 超过 board 的最后一行
void backtrack(vector<string>& board, int row) {// 触发结束条件if (row == board.size()) {res.push_back(board);return;}int n = board[row].size();for (int col = 0; col < n; col++) {// 排除不合法选择if (!isValid(board, row, col)) continue;// 做选择board[row][col] = 'Q';// 进入下一行决策backtrack(board, row + 1);// 撤销选择board[row][col] = '.';}
}

这部分主要代码，其实跟全排列问题差不多，isValid 函数的实现也很简单：

/* 是否可以在 board[row][col] 放置皇后？ */
bool isValid(vector<string>& board, int row, int col) {int n = board.size();// 检查列是否有皇后互相冲突for (int i = 0; i < n; i++) {if (board[i][col] == 'Q')return false;}// 检查右上方是否有皇后互相冲突for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {if (board[i][j] == 'Q')return false;}// 检查左上方是否有皇后互相冲突for (int i = row - 1, j = col - 1;i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {if (board[i][j] == 'Q')return false;}return true;
}

函数 backtrack 依然像个在决策树上游走的指针，通过 row 和 col 就可以表示函数遍历到的位置，通过 isValid 函数可以将不符合条件的情况剪枝：

这个问题的复杂度确实非常高，看看我们的决策树，虽然有 isValid 函数剪枝，但是最坏时间复杂度仍然是 O(N(N+1))O(N^(N+1))O(N(N+1))，而且无法优化。如果 N = 10 的时候，计算就已经很耗时了。

有的时候，我们并不想得到所有合法的答案，只想要一个答案，怎么办呢？比如解数独的算法，找所有解法复杂度太高，只要找到一种解法就可以。

其实特别简单，只要稍微修改一下回溯算法的代码即可：

// 函数找到一个答案后就返回 true
bool backtrack(vector<string>& board, int row) {// 触发结束条件if (row == board.size()) {res.push_back(board);return true;}...for (int col = 0; col < n; col++) {...board[row][col] = 'Q';if (backtrack(board, row + 1))return true;board[row][col] = '.';}return false;
}

三、最后总结

回溯算法就是个多叉树的遍历问题，关键就是在前序遍历和后序遍历的位置做一些操作，算法框架如下：

def backtrack(...):for 选择 in 选择列表:做选择backtrack(...)撤销选择

写 backtrack 函数时，需要维护走过的「路径」和当前可以做的「选择列表」，当触发「结束条件」时，将「路径」记入结果集。

其实想想看，回溯算法和动态规划是不是有点像呢？

动态规划的三个需要明确的点就是「状态」「选择」和「base case」，是不是就对应着走过的「路径」，当前的「选择列表」和「结束条件」？

某种程度上说，动态规划的暴力求解阶段就是回溯算法。只是有的问题具有重叠子问题性质，可以用 dp table 或者备忘录优化，将递归树大幅剪枝，这就变成了动态规划。而今天的两个问题，都没有重叠子问题，也就是回溯算法问题了，复杂度非常高是不可避免的。

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