深度学习与自然语言处理(4)_斯坦福cs224d 大作业测验1与解答

作业内容翻译：@胡杨(superhy199148@hotmail.com) && @胥可(feitongxiaoke@gmail.com)
解答与编排：寒小阳 && 龙心尘
时间：2016年6月
出处：
http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/51760923
http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51765418

说明：本文为斯坦福大学CS224d课程的中文版内容笔记，已得到斯坦福大学课程@Richard Socher教授的授权翻译与发表

0 前言

前面一个接一个的Lecture，看得老衲自己也是一脸懵逼，不过你以为你做一个安安静静的美男子(总感觉有勇气做deep learning的女生也是一条汉纸)就能在Stanford这样的学校顺利毕业啦？图样图森破，除掉极高的内容学习梯度，这种顶尖大学的作业和考试一样会让你突(tong)飞(bu)猛(yu)进(sheng)。

说起来，怎么也是堂堂斯坦福的课，这种最看重前言研究在实际工业应用的学校，一定是理论和应用并进，对动手能力要求极强的，于是乎，我们把作业和小测验(MD你这也敢叫小测验！！)也扒过来，整理整理，让大家都来体验体验。反正博主君自己每次折腾完这些大学的assignment之后，都会感慨一句，“还好不生在水生火热的万恶资本主义国家，才能让我大学和研究僧顺利毕业(什么？phd？呵呵…博主是渣渣，智商常年处于欠费状态，我就不参与你们高端人士的趴体了)”。

不能再BB了，直接开始做作业考试吧…

1 Softmax (10 分)

(part a) (5分)
证明针对任何输入向量 x \mathbf{x}和常数c，softmax函数的输出不会随着输入向量偏移（也就是常数c）而改变。即：

softmax(x)=softmax(x+c)

softmax(\mathbf{x}) = softmax(\mathbf{x} + c)

其中 x+c \mathbf{x} + c就是给 x \mathbf{x}每一个元素加上常数c。注意：

softmax(x)i=exi∑jexj

softmax \left( \mathbf{x} \right)_i = \frac{e^{\mathbf{x}_i}}{\sum_je^{\mathbf{x}_j}}

提示：在实际应用中，经常会用到这个性质。为了稳定地计算softmax概率，我们会选择 c=−maxixi c = − max_i x_i。（即将 x \mathbf{x}的每个元素减去最大的那个元素）。

博主：熬过了高中，居然又看见证明了，也是惊(ri)喜(le)万(gou)分(le)，答案拿来！！！

解答：

证明，针对所有维度 1≤i≤dim(x) 1 \le i \le dim\left( \mathbf{x} \right)：

(softmax(x+c))i=exp(xi+c)∑dim(x)j=1exp(xj+c)=exp(c)exp(xi)exp(c)∑dim(x)j=1exp(xj)=exp(xi)∑dim(x)j=1exp(xj)=(softmax(x))i

\left(softmax \left( \mathbf{x} + c \right)\right)_i = \frac{\exp \left(\mathbf{x}_i + c \right) }{\sum_{j=1}^{dim\left( \mathbf{x}\right)}{\exp\left(\mathbf{x}_j+c \right)}} = \frac{\exp\left(c \right)\exp \left( x_i\right)}{\exp \left( c \right)\sum_{j=1}^{dim\left(x \right)}\exp\left( x_j\right)} = \frac{\exp \left( x_i\right)}{\sum_{j=1}^{dim\left(x \right)}\exp\left( x_j\right)} = \left( softmax \left( \mathbf{x}\right) \right)_i

(part b) (5 分)
已知一个N行d列的输入矩阵，计算每一行的softmax概率。在q1_softmax.py中写出你的实现过程，并使用python q1_softmax.py执行。

要求：你所写的代码应该尽可能的有效并以向量化的形式来实现。非向量化的实现将不会得到满分。

博主：简直要哭晕在厕所了，当年毕业设计也是加论文一星期都可以写完的节奏，这里一个5分的作业，还这么多要求…社会主义好…答案拿来！！！

import numpy as npdef softmax(x):"""Softmax 函数"""assert len(x.shape) > 1, "Softmax的得分向量要求维度高于1"x -= np.max(x, axis=1, keepdims=True)x = np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=1, keepdims=True)return x

2 神经网络基础（30分）

(part a) (3 分)
推导sigmoid函数的导数，并且只以sigmoid函数值的形式写出来（导数的表达式里只包含 σ(x) \sigma \left(x\right)，不包含x）。证明针对这个问题没必要单独考虑x。方便回忆：下面给出sigmoid函数形式：

σ(x)=11+e−x

\sigma \left( x\right) = \frac{1}{1+e^{-x}}

旁白：我年纪轻轻干嘛要走上深度学习这条不归路，真是生无所恋了。

答案： σ'(x)=σ(x)(1−σ(x)) \sigma′\left(x\right) = \sigma\left(x\right)(1 − \sigma\left(x\right))。

(part b) (3 分)
当使用交叉熵损失来作为评价标准时,推导出损失函数以softmax为预测结果的输入向量 θ \theta的梯度。注意，

CE(y,y^)=−∑iyilog(y^i)

CE\left(\mathbf{y}, \mathbf{\hat{y}}\right) = - \sum_i{y_i \log \left( \hat{y}_i\right)}

其中 y \mathbf{y}是一个one-hot向量， y^ \hat{\mathbf{y}}是所有类别的预测出的概率向量。（提示：你需要考虑 y \mathbf{y}的许多元素为0，并且假设 y \mathbf{y}仅有第k个类别是1）

答案： ∂CE(y,y^)∂θ=y^−y \frac{\partial CE\left(\mathbf{y}, \mathbf{\hat{y}}\right)}{\partial \mathbf{\theta}}=\mathbf{\hat{y}}-\mathbf{y}

或者等价于下面表达式，其中假设k是正确的类别

∂CE(y,y^)∂θ={y^i−1,i=ky^i,otherwise

\frac{\partial CE\left(\mathbf{y}, \mathbf{\hat{y}}\right)}{\partial \mathbf{\theta}}=\left\{\begin{matrix} \hat{y}_i-1,i=k &\\ \hat{y}_i , otherwise& \end{matrix}\right.

(part c) (6 分)
推导出单隐层神经网络关于输入 x \mathbf{x}的梯度（也就是推导出 ∂J∂x \frac{\partial J}{\partial x}，其中J是神经网络的损失函数）。这个神经网络在隐层和输出层采用了sigmoid激活函数， y \mathbf{y}是one-hot编码向量，使用了交叉熵损失。（使用 σ'(x) \sigma′\left( x \right) 作为sigmoid梯度，并且你可以任意为推导过中的中间变量命名）

前向传播方程如下：

h=sigmoid(xW1+b1)y^=softmax(hW2+b2)

\begin{matrix} \mathbf{h}=sigmoid \left( \mathbf{xW}_1+\mathbf{b}_1\right) \\ \hat{\mathbf{y}}=softmax \left( \mathbf{hW}_2 + \mathbf{b}_2\right) & \end{matrix}

在编程问题中，我们假设输入向量（隐层变量和输出概率）始终是一个行向量。此处我们约定，当我们说要对向量使用sigmoid函数时，也就是说要对向量每一个元素使用sigmoid函数。 Wi \mathbf{W}_i和 bi \mathbf{b}_i（其中i=1，2）分别是两层的权重和偏移。

旁白：好好的100分总分，硬要被你这么5分6分地拆，人家5分6分是一道选择题，你特么是一整个毕业设计！！好吧，不哭，跪着也要把题目做完，代码写完。哎，博主还是太年轻，要多学习啊。

答案：令 z2=hW2+b2 \mathbf{z}_2 = \mathbf{hW_2}+\mathbf{b}_2， z1=xW1+b1x \mathbf{z}_1=\mathbf{xW}_1+\mathbf{b}_1x，于是可得：

δ1=∂CE∂z2=y^−yδ2=∂CE∂h=δ1∂z2∂h=δ1WT2δ3=∂CEz1=δ2∂h∂z1=δ2∘σ′(z1)∂CE∂x=δ3∂z1∂x=δ3WT

\begin{matrix} \delta_1=\frac{\partial CE}{\partial \mathbf{z}_2}=\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}&\\ \delta_2=\frac{\partial CE}{\partial \mathbf{h}}=\delta_1\frac{\partial \mathbf{z}_2}{\partial \mathbf{h}}=\delta_1 \mathbf{W}_2^T&\\ \delta_3=\frac{\partial CE}{\mathbf{z}_1}=\delta_2 \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}_1}=\delta_2\circ \sigma' \left( \mathbf{z}_1\right)&\\ \frac{\partial CE}{\partial \mathbf{x}}=\delta_3 \frac{\partial \mathbf{z}_1}{\partial \mathbf{x}}=\delta_3 \mathbf{W}^T& \end{matrix}

(part d) (2 分)
上面所说的这个神经网络有多少个参数？我们可以假设输入是 Dx D_x维，输出是 Dy D_y，隐层单元有H个。

旁白：还有part d！！！

答案: (Dx+1)⋅H+(H+1)⋅Dy (D_x +1)·H +(H +1)·D_y.

(part e) (4 分) 在q2_sigmoid.py中补充写出sigmoid激活函数的和求它的梯度的对应代码。并使用python q2_sigmoid.py进行测试，同样的，测试用例有可能不太详尽，因此尽量检查下自己的代码。

旁白：如果博主没有阵亡，就在走向阵亡的路上…

def sigmoid_grad(f):""" 计算Sigmoid的梯度 """#好在我有numpyf = f * ( 1 - f )return f

(part f) (4 分)
为了方便debugging，我们需要写一个梯度检查器。在q2_gradcheck.py中补充出来，使用python q2_gradcheck.py测试自己的代码。

旁白：做到昏天黑地，睡一觉起来又是一条好汉…

def gradcheck_naive(f, x):""" 对一个函数f求梯度的梯度检验 - f 输入x，然后输出loss和梯度的函数- x 就是输入咯""" rndstate = random.getstate()random.setstate(rndstate)  fx, grad = f(x)h = 1e-4# 遍历x的每一维it = np.nditer(x, flags=['multi_index'], op_flags=['readwrite'])while not it.finished:ix = it.multi_indexold_val = x[ix]x[ix] = old_val - hrandom.setstate(rndstate)( fxh1, _ ) = f(x)x[ix] = old_val + hrandom.setstate(rndstate)( fxh2, _ ) = f(x)numgrad = (fxh2 - fxh1)/(2*h)x[ix] = old_val# 比对梯度reldiff = abs(numgrad - grad[ix]) / max(1, abs(numgrad), abs(grad[ix]))if reldiff > 1e-5:print "Gradient check failed."print "First gradient error found at index %s" % str(ix)print "Your gradient: %f \t Numerical gradient: %f" % (grad[ix], numgrad)returnit.iternext() # Step to next dimensionprint "Gradient check passed!"

(part g) (8 分)
现在，在q2 neural.py中，写出只有一个隐层且激活函数为sigmoid的神经网络前向和后向传播代码。使用python q2_neural.py测试自己的代码。

旁白：一入DL深似海…

def forward_backward_prop(data, labels, params, verbose = False):""" 2个隐层的神经网络的前向运算和反向传播"""if len(data.shape) >= 2:(N, _) = data.shape### 展开每一层神经网络的参数t = 0W1 = np.reshape(params[t:t+dimensions[0]*dimensions[1]], (dimensions[0], dimensions[1]))t += dimensions[0]*dimensions[1]b1 = np.reshape(params[t:t+dimensions[1]], (1, dimensions[1]))t += dimensions[1]W2 = np.reshape(params[t:t+dimensions[1]*dimensions[2]], (dimensions[1], dimensions[2]))t += dimensions[1]*dimensions[2]b2 = np.reshape(params[t:t+dimensions[2]], (1, dimensions[2]))### 前向运算# 第一个隐层做内积a1 = sigmoid(data.dot(W1) + b1)    # 第二个隐层做内积a2 = softmax(a1.dot(W2) + b2)cost = - np.sum(np.log(a2[labels == 1]))/N### 反向传播# Calculate analytic gradient for the cross entropy loss functiongrad_a2 = ( a2 - labels ) / N# Backpropagate through the second latent layergradW2 = np.dot( a1.T, grad_a2 )gradb2 = np.sum( grad_a2, axis=0, keepdims=True )# Backpropagate through the first latent layergrad_a1 = np.dot( grad_a2, W2.T ) * sigmoid_grad(a1)gradW1 = np.dot( data.T, grad_a1 )gradb1 = np.sum( grad_a1, axis=0, keepdims=True )if verbose: # Verbose mode for logging informationprint "W1 shape: {}".format( str(W1.shape) )print "W1 gradient shape: {}".format( str(gradW1.shape) )print "b1 shape: {}".format( str(b1.shape) )print "b1 gradient shape: {}".format( str(gradb1.shape) )### 梯度拼起来grad = np.concatenate((gradW1.flatten(), gradb1.flatten(), gradW2.flatten(), gradb2.flatten()))return cost, grad

3 word2vec(40分+5附加分)

(part a) (3分)
假设你得到一个关联到中心词 c c的预测词向量υc\upsilon_c，并且这个词向量使用skip-gram方法生成，预测词使用的是softmax预测函数，它能够在word2vec模型中被找到。

y^o=p(o|c)=exp(μ⊤oυc)∑∑Ww=1exp(μ⊤wυc)(4)

\hat{y}_o=p(o|c)=\frac{\exp(\mu_o^\top\upsilon_c)}{\sideset{}{_{w=1}^W}\sum\exp(\mu_w^\top\upsilon_c)}\tag{4}

式中， w w代表第w个词，μw(w=1,…,W)\mu_w(w=1,\ldots,W)是词库中全体词汇的输出词向量。假设为交叉熵损失函数，且词 o o是被预测的词汇（noe-hot/独热模型的标记向量中第oo个元素为1），求解预测词向量 υc \upsilon_c的所对应的梯度。
提示：问题2中的标记法将有助于此问题的解答。比如：设 y^ \hat{y}为各个词汇使用softmax函数预测得到的向量， y y为期望词向量，而损失函数可以表示为：

Jsoftmax−CE(o,υc,U)=CE(y,y^)(5)

J_{softmax-CE}(o,\upsilon_c,U)=CE(y,\hat{y})\tag{5}

其中， U=[μ1,μ2,…,μW] U=[\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_W]是全体输出向量形成的矩阵，确保你已经规定好你的向量和矩阵的方向。

旁边：是的，旁白我已经不知道写什么了，感谢党感谢祖国吧。

解答：设 y^ \hat{y}为词汇softmax预测结果的列向量， y y是同样形为列向量的独热标签，那么有：

∂J∂υc=UT(y^−y).

\frac{\partial{J}}{\partial{\upsilon_c}}=U^T(\hat{y}-y).

或者等同于：

∂J∂υc=−μi+∑w=1Wyw^μw

\frac{\partial{J}}{\partial{\upsilon_c}}=-\mu_i+\sum_{w=1}^{W}\hat{y_w}\mu_w

(part b) (3分)
条件仍然如前一题所描述，求解输出词向量 μw \mu_w的梯度（包括 μo \mu_o在内）

旁白：我还是安安静静在天朝搬砖吧

解答：

∂J∂U=υc(y^−y)⊤

\frac{\partial{J}}{\partial{U}}=\upsilon_c(\hat{y}-y)^\top

或者等同于：

∂J∂μw={(yw^−1)υc,yw^,w=ootherwise

\frac{\partial{J}}{\partial{\mu_w}}=\begin{cases}(\hat{y_w}-1)\upsilon_c, &w=o\\\hat{y_w}, &otherwise\end{cases}

(part c) (6分)
仍然延续(part a)和(part b)，假设我们使用为预测的向量 υc \upsilon_c使用负采样损失的计算方式，并且设定期望输出词为 o o。假设获得了KK个负样例（词），并且被记为 1,…,K 1,\ldots,K，分别作为这些样例的标签 (o∉1,…,K) (o\notin{1,\ldots,K})。那么，对于一个给定的词 o o，将其输出向量记作μo\mu_o。这里，负采样损失函数如下：

Jneg−sample(o,υc,U)=−log(σ(μ⊤oυc))−∑k=1Klog(σ(−μ⊤kυc))(6)

J_{neg-sample}(o,\upsilon_c,U)=-\log(\sigma(\mu_o^\top\upsilon_c))-\sum_{k=1}^{K}\log(\sigma(-\mu_k^\top\upsilon_c))\tag{6}

其中， σ(⋅) \sigma(\cdot)为sigmoid激活函数。

当你完成上述操作之后，尝试简要描述这个损失函数比softmax-CE损失函数计算更为有效的原因（你可以给出递增式的学习率，即，给出softmax-CE损失函数的计算时间除以负采样损失函数的计算时间的结果）。

注释：由于我们打算计算目标函数的最小值而不是最大值，这里提到的损失函数与Mikolov等人最先在原版论文中描述的正好相反。

旁白：突然想起来，小时候好焦虑，长大后到底去清华还是去北大，后来发现多虑了。我想如果当初走了狗屎运进了贵T大贵P大，也一定完不成学业。

解答：

∂J∂υc∂J∂μo∂J∂μk=(σ(μ⊤oυc)−1)μo−∑k=1K(σ(−μ⊤kυc)−1)μk=(σ(μ⊤oυc)−1)υc=−(σ(−μ⊤kυc)−1)υc,for all k=1,2,…,K

\begin{align*} \frac{\partial{J}}{\partial{\upsilon_c}}&=(\sigma(\mu_o^\top\upsilon_c)-1)\mu_o-\sum_{k=1}^{K}(\sigma(-\mu_k^\top\upsilon_c)-1)\mu_k\\\frac{\partial{J}}{\partial{\mu_o}}&=(\sigma(\mu_o^\top\upsilon_c)-1)\upsilon_c\\\frac{\partial{J}}{\partial{\mu_k}}&=-(\sigma(-\mu_k^\top\upsilon_c)-1)\upsilon_c,\qquad for \ all \ k=1,2,\ldots,K \end{align*}

(part d) (8分)
试得到由skip-gram和CBOW算法分别算出的全部词向量的梯度，前提步骤和词内容集合[wordc-m,…,wordc-1,wordc,wordc+1,…,wordc+m]都已给出，其中， m m是窗口的大小。将词wordk{word}_k的输入和输出词向量分别记为 υk \upsilon_k和 μk \mu_k。
提示：可以随意使用函数 F(o,υc) F(o,\upsilon_c)（其中 o o代表词汇）作为这一部分中Jsoftmax−CE(o,υc,…)J_{softmax-CE}(o,\upsilon_c,\ldots)或 Jneg−sample(o,υc,…) J_{neg-sample}(o,\upsilon_c,\ldots)损失函数的占位符——你将在编程部分看到一个非常有用的抽象类，那意味着你的解决方法可以用这样的形式表达： ∂F(o,υc)∂… \frac{\partial{F(o,\upsilon_c)}}{\partial{\ldots}}
回忆skip-gram算法，以 c c为中心周边内容的损失值计算如下：

Jskip−gram(wordc−m…c+m)=∑−m≤j≤m,j≠0F(wc+j,υc)(7)

J_{skip-gram}({word}_{c-m \ldots c+m})=\sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}F(w_{c+j},\upsilon_c)\tag{7}

其中， wc+j w_{c+j}代表距离中心词的第j个词。
CBOW略有不同，不同于使用 υc \upsilon_c作为预测向量，我们以 υ^ \hat{\upsilon}为底，在CBOW中（一个小小的变体），我们计算上下文输入词向量的和:

υ^=∑−m≤j≤m,j≠0υc+j(8)

\hat{\upsilon}=\sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}\upsilon_{c+j}\tag{8}

于是，CBOW的损失函数定义为：

JCBOW(wordc−m…c+m)=F(wc,υ^)(9)

J_{CBOW}({word_{c-m \ldots c+m}})=F(w_c,\hat{\upsilon})\tag{9}

注释：为了符合 υ^ \hat{\upsilon}在诸如代码部分中的各种表达规范，在skip-gram方法中，令： υ^=υc \hat{\upsilon}=\upsilon_c。

旁白：我诚实一点，这个部分真的是翻了课件抄下来的。

解答：为了表达得更为清晰，我们将词库中全部词汇的全部输出向量集合记作 U U，给定一个损失函数FF，我们可以很容易获得以下引出结果：
∂F(wi,υ^)∂U \frac{\partial{F(w_i,\hat{\upsilon})}}{\partial{U}} 和 ∂F(wi,υ^)∂υ^ \frac{\partial{F(w_i,\hat{\upsilon})}}{\partial{\hat{\upsilon}}}
对于skip-gram方法，一个内容窗口的损失梯度为：

∂Jskip−gram(wordc−m,…,c+m)∂U∂Jskip−gram(wordc−m,…,c+m)∂υc∂Jskip−gram(wordc−m,…,c+m)∂υj=∑−m≤j≤m,j≠0∂F(wc+j,υc)∂U,=∑−m≤j≤m,j≠0∂F(wc+j,υc)∂υc=0, for all j≠c.

\begin{align*} \frac{\partial{J_{skip-gram}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{U}} &= \sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}\frac{\partial{F(w_{c+j},\upsilon_c)}}{\partial{U}},\\\frac{\partial{J_{skip-gram}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_c}} &= \sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}\frac{\partial{F(w_{c+j},\upsilon_c)}}{\partial{\upsilon_c}}\\\frac{\partial{J_{skip-gram}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_j}} &= 0, \ for \ all \ j \ne c. \end{align*}

同样地，对于CBOW则有：

∂JCBOW(wordc−m,…,c+m)∂U∂JCBOW(wordc−m,…,c+m)∂υj∂JCBOW(wordc−m,…,c+m)∂υj=∂F(wc,υ^)∂U,(using the definition of υ^ in the problem)=∂F(wc,υ^)∂υ^,for all j∈{c−m,…,c−1,c+1,…,c+m}=0,for all j∉{c−m,…,c−1,c+1,…,c+m}

\begin{align*} \frac{\partial{J_{CBOW}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{U}} &= \frac{\partial{F(w_c,\hat{\upsilon})}}{\partial{U}}, \quad (using \ the \ definition \ of \ \hat{\upsilon} \ in \ the \ problem)\\\frac{\partial{J_{CBOW}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_j}} &= \frac{\partial{F(w_c,\hat{\upsilon})}}{\partial{\hat{\upsilon}}}, \quad for \ all \ j \in\{c-m, \ldots , c-1,c+1, \ldots , c+m \}\\\frac{\partial{J_{CBOW}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_j}} &= 0, \quad for \ all \ j \notin\{c-m, \ldots , c-1,c+1, \ldots , c+m\} \end{align*}

(part e) (12分)
在这一部分，你将实现word2vec模型，并且使用随机梯度下降方法（SGD）训练属于你自己的词向量。首先，在代码q3_word2vec.py中编写一个辅助函数对矩阵中的每一行进行归一化。同样在这个文件中，完成对softmax、负采样损失函数以及梯度计算函数的实现。然后，完成面向skip-gram的梯度损失函数。当你完成这些的时候，使用命令：python q3_word2vec.py对编写的程序进行测试。
注释：如果你选择不去实现CBOW(h部分)，只需简单地删除对NotImplementedError错误的捕获即可完成你的测试。

旁白：前方高能预警，代码量爆炸了！

import numpy as np
import randomfrom q1_softmax import softmax
from q2_gradcheck import gradcheck_naive
from q2_sigmoid import sigmoid, sigmoid_graddef normalizeRows(x):""" 行归一化函数 """N = x.shape[0]x /= np.sqrt(np.sum(x**2, axis=1)).reshape((N,1)) + 1e-30return xdef test_normalize_rows():print "Testing normalizeRows..."x = normalizeRows(np.array([[3.0,4.0],[1, 2]])) # 结果应该是 [[0.6, 0.8], [0.4472, 0.8944]]print xassert (np.amax(np.fabs(x - np.array([[0.6,0.8],[0.4472136,0.89442719]]))) <= 1e-6)print ""def softmaxCostAndGradient(predicted, target, outputVectors, dataset):""" word2vec的Softmax损失函数 """                                                   # 输入:                                                         # - predicted: 预测词向量的numpy数组# - target: 目标词的下标              # - outputVectors: 所有token的"output"向量(行形式) # - dataset: 用来做负例采样的，这里其实没用着         # 输出:                                                        # - cost: 输出的互熵损失    # - gradPred: the gradient with respect to the predicted word   #        vector                                                # - grad: the gradient with respect to all the other word        #        vectors                                               probabilities = softmax(predicted.dot(outputVectors.T))cost = -np.log(probabilities[target])delta = probabilitiesdelta[target] -= 1N = delta.shape[0]D = predicted.shape[0]grad = delta.reshape((N,1)) * predicted.reshape((1,D))gradPred = (delta.reshape((1,N)).dot(outputVectors)).flatten()return cost, gradPred, graddef negSamplingCostAndGradient(predicted, target, outputVectors, dataset, K=10):""" Word2vec模型负例采样后的损失函数和梯度"""grad = np.zeros(outputVectors.shape)gradPred = np.zeros(predicted.shape)indices = [target]for k in xrange(K):newidx = dataset.sampleTokenIdx()while newidx == target:newidx = dataset.sampleTokenIdx()indices += [newidx]labels = np.array([1] + [-1 for k in xrange(K)])vecs = outputVectors[indices,:]t = sigmoid(vecs.dot(predicted) * labels)cost = -np.sum(np.log(t))delta = labels * (t - 1)gradPred = delta.reshape((1,K+1)).dot(vecs).flatten()gradtemp = delta.reshape((K+1,1)).dot(predicted.reshape((1,predicted.shape[0])))for k in xrange(K+1):grad[indices[k]] += gradtemp[k,:]t = sigmoid(predicted.dot(outputVectors[target,:]))cost = -np.log(t)delta = t - 1gradPred += delta * outputVectors[target, :]grad[target, :] += delta * predictedfor k in xrange(K):idx = dataset.sampleTokenIdx()t = sigmoid(-predicted.dot(outputVectors[idx,:]))cost += -np.log(t)delta = 1 - tgradPred += delta * outputVectors[idx, :]grad[idx, :] += delta * predictedreturn cost, gradPred, graddef skipgram(currentWord, C, contextWords, tokens, inputVectors, outputVectors, dataset, word2vecCostAndGradient = softmaxCostAndGradient):""" Skip-gram model in word2vec """# skip-gram模型的实现# 输入:                                                         # - currrentWord: 当前中心词所对应的串           # - C: 上下文大小(词窗大小)                          # - contextWords: 最多2*C个词                             # - tokens: 对应词向量中词下标的字典                # - inputVectors: "input" word vectors (as rows) for all tokens           # - outputVectors: "output" word vectors (as rows) for all tokens         # - word2vecCostAndGradient: the cost and gradient function for a prediction vector given the target word vectors, could be one of the two cost functions you implemented above# 输出:                                                   # - cost: skip-gram模型算得的损失值   # - grad: 词向量对应的梯度 currentI = tokens[currentWord]predicted = inputVectors[currentI, :]cost = 0.0gradIn = np.zeros(inputVectors.shape)gradOut = np.zeros(outputVectors.shape)for cwd in contextWords:idx = tokens[cwd]cc, gp, gg = word2vecCostAndGradient(predicted, idx, outputVectors, dataset)cost += ccgradOut += gggradIn[currentI, :] += gpreturn cost, gradIn, gradOutdef word2vec_sgd_wrapper(word2vecModel, tokens, wordVectors, dataset, C, word2vecCostAndGradient = softmaxCostAndGradient):batchsize = 50cost = 0.0grad = np.zeros(wordVectors.shape)N = wordVectors.shape[0]inputVectors = wordVectors[:N/2,:]outputVectors = wordVectors[N/2:,:]for i in xrange(batchsize):C1 = random.randint(1,C)centerword, context = dataset.getRandomContext(C1)if word2vecModel == skipgram:denom = 1else:denom = 1c, gin, gout = word2vecModel(centerword, C1, context, tokens, inputVectors, outputVectors, dataset, word2vecCostAndGradient)cost += c / batchsize / denomgrad[:N/2, :] += gin / batchsize / denomgrad[N/2:, :] += gout / batchsize / denomreturn cost, graddef test_word2vec():# Interface to the dataset for negative samplingdataset = type('dummy', (), {})()def dummySampleTokenIdx():return random.randint(0, 4)def getRandomContext(C):tokens = ["a", "b", "c", "d", "e"]return tokens[random.randint(0,4)], [tokens[random.randint(0,4)] \for i in xrange(2*C)]dataset.sampleTokenIdx = dummySampleTokenIdxdataset.getRandomContext = getRandomContextrandom.seed(31415)np.random.seed(9265)dummy_vectors = normalizeRows(np.random.randn(10,3))dummy_tokens = dict([("a",0), ("b",1), ("c",2),("d",3),("e",4)])print "==== Gradient check for skip-gram ===="gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(skipgram, dummy_tokens, vec, dataset, 5), dummy_vectors)gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(skipgram, dummy_tokens, vec, dataset, 5, negSamplingCostAndGradient), dummy_vectors)print "\n==== Gradient check for CBOW      ===="gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(cbow, dummy_tokens, vec, dataset, 5), dummy_vectors)gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(cbow, dummy_tokens, vec, dataset, 5, negSamplingCostAndGradient), dummy_vectors)print "\n=== Results ==="print skipgram("c", 3, ["a", "b", "e", "d", "b", "c"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset)print skipgram("c", 1, ["a", "b"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset, negSamplingCostAndGradient)print cbow("a", 2, ["a", "b", "c", "a"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset)print cbow("a", 2, ["a", "b", "a", "c"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset, negSamplingCostAndGradient)if __name__ == "__main__":test_normalize_rows()test_word2vec()

(f) (4分) 在代码q3_sgd.py中完成对随即梯度下降优化函数的实现。并且在该代码中运行测试你的实现。

旁白：想到这篇文章有可能会被无数可以智商碾压我的大神看到，就脸一阵发烫。

# 实现随机梯度下降# 随机梯度下降每1000轮，就保存一下现在训练得到的参数
SAVE_PARAMS_EVERY = 1000import glob
import os.path as op
import cPickle as pickle
import sysdef load_saved_params():"""载入之前的参数以免从头开始训练"""st = 0for f in glob.glob("saved_params_*.npy"):iter = int(op.splitext(op.basename(f))[0].split("_")[2])if (iter > st):st = iterif st > 0:with open("saved_params_%d.npy" % st, "r") as f:params = pickle.load(f)state = pickle.load(f)return st, params, stateelse:return st, None, Nonedef save_params(iter, params):with open("saved_params_%d.npy" % iter, "w") as f:pickle.dump(params, f)pickle.dump(random.getstate(), f)def sgd(f, x0, step, iterations, postprocessing = None, useSaved = False, PRINT_EVERY=10, ANNEAL_EVERY = 20000):""" 随机梯度下降 """############################################################ 输入#   - f: 需要最优化的函数#   - x0: SGD的初始值#   - step: SGD的步长#   - iterations: 总得迭代次数#   - postprocessing: 参数后处理（比如word2vec里需要对词向量做归一化处理）#   - PRINT_EVERY: 指明多少次迭代以后输出一下状态# 输出: #   - x: SGD完成后的输出参数                   ############################################################if useSaved:start_iter, oldx, state = load_saved_params()if start_iter > 0:x0 = oldx;step *= 0.5 ** (start_iter / ANNEAL_EVERY)if state:random.setstate(state)else:start_iter = 0x = x0if not postprocessing:postprocessing = lambda x: xexpcost = Nonefor iter in xrange(start_iter + 1, iterations + 1):cost, grad = f(x)x = x - step * gradx = postprocessing(x)if iter % PRINT_EVERY == 0:print "Iter#{}, cost={}".format(iter, cost)sys.stdout.flush()if iter % SAVE_PARAMS_EVERY == 0 and useSaved:save_params(iter, x)if iter % ANNEAL_EVERY == 0:step *= 0.5return x

(part g) (4分)
开始秀啦！现在我们将要载入真实的数据并使用你已经实现的手段训练词向量！我们将使用Stanford Sentiment Treebank (SST)数据集来进行词向量的训练，之后将他们应用到情感分析任务中去。在这一部分中，无需再编写更多的代码；只需要运行命令python q3 run.py即可。
注释：训练过程所占用的时间可能会很长，这取决于你所实现的程序的效率（一个拥有优异效率的实现程序大约需要占用1个小时）。努力去接近这个目标！
当脚本编写完成，需要完成对词向量的可视化显示。相应的结果同样被保存下来，如项目目录中的图片q3 word_vectors.png所示。包括在你作业中绘制的坐标图。简明解释最多三个句子在你的坐标图中的显示状况。
解答：

(part h) 附加题（5分）

在代码q3_word2vec.py中完成对CBOW的实现。注释：这部分内容是可选的，但是在d部分中关于CBOW的梯度推导在这里并不适用！

def cbow(currentWord, C, contextWords, tokens, inputVectors, outputVectors, dataset, word2vecCostAndGradient = softmaxCostAndGradient):"""word2vec的CBOW模型"""cost = 0gradIn = np.zeros(inputVectors.shape)gradOut = np.zeros(outputVectors.shape)D = inputVectors.shape[1]predicted = np.zeros((D,))indices = [tokens[cwd] for cwd in contextWords]for idx in indices:predicted += inputVectors[idx, :]cost, gp, gradOut = word2vecCostAndGradient(predicted, tokens[currentWord], outputVectors, dataset)gradIn = np.zeros(inputVectors.shape)for idx in indices:gradIn[idx, :] += gpreturn cost, gradIn, gradOut

4 情感分析（20分）

现在，随着词向量的训练，我们准备展示一个简单的情感分析案例。随着词向量的训练，我们准备展示一个简单的情感分析。对于每条Stanford Sentiment Treebank数据集中的句子，将句子中全体词向量的平均值算作其特征值，并试图预测所提句子中的情感层次。短语的情感层次使用真实数值在原始数据集中表示，并被我们用以下5个类别来表示：

“超级消极”，“比较消极”，“中立”，“积极”，“非常积极”

对其分别进行从0到4的编码。在这一部分，你将学习用SGD来训练一个softmax回归机，并且通过不断地训练／调试验证来提高回归机的泛化能力。
(part a)（10分）
实现一个句子的特征生成器和softmax回归机。在代码q4_softmaxreg.py中完成对这个任务的实现，并运行命令python q4_ softmaxreg.py，对刚才完成的功能函数进行调试。

import numpy as np
import randomfrom cs224d.data_utils import *from q1_softmax import softmax
from q2_gradcheck import gradcheck_naive
from q3_sgd import load_saved_paramsdef getSentenceFeature(tokens, wordVectors, sentence):""" 简单粗暴的处理方式，直接对句子的所有词向量求平均做为情感分析的输入"""# 输入:                                                         # - tokens: a dictionary that maps words to their indices in the word vector list                                # - wordVectors: word vectors (each row) for all tokens # - sentence: a list of words in the sentence of interest # 输出:                                                         # - sentVector: feature vector for the sentence    sentVector = np.zeros((wordVectors.shape[1],))indices = [tokens[word] for word in sentence]sentVector = np.mean(wordVectors[indices, :], axis=0)return sentVectordef softmaxRegression(features, labels, weights, regularization = 0.0, nopredictions = False):""" Softmax Regression """# 完成加正则化的softmax回归        # 输入:                                                         # - features: feature vectors, each row is a feature vector # - labels: labels corresponding to the feature vectors     # - weights: weights of the regressor                       # - regularization: L2 regularization constant              # 输出:                                                         # - cost: cost of the regressor                             # - grad: gradient of the regressor cost with respect to its weights                                               # - pred: label predictions of the regressor (you might find np.argmax helpful)  prob = softmax(features.dot(weights))if len(features.shape) > 1:N = features.shape[0]else:N = 1# A vectorized implementation of    1/N * sum(cross_entropy(x_i, y_i)) + 1/2*|w|^2cost = np.sum(-np.log(prob[range(N), labels])) / N cost += 0.5 * regularization * np.sum(weights ** 2)grad = np.array(prob)grad[range(N), labels] -= 1.0grad = features.T.dot(grad) / Ngrad += regularization * weightsif N > 1:pred = np.argmax(prob, axis=1)else:pred = np.argmax(prob)if nopredictions:return cost, gradelse:return cost, grad, preddef accuracy(y, yhat):""" Precision for classifier """assert(y.shape == yhat.shape)return np.sum(y == yhat) * 100.0 / y.sizedef softmax_wrapper(features, labels, weights, regularization = 0.0):cost, grad, _ = softmaxRegression(features, labels, weights, regularization)return cost, graddef sanity_check():"""Run python q4_softmaxreg.py."""random.seed(314159)np.random.seed(265)dataset = StanfordSentiment()tokens = dataset.tokens()nWords = len(tokens)_, wordVectors0, _ = load_saved_params()wordVectors = (wordVectors0[:nWords,:] + wordVectors0[nWords:,:])dimVectors = wordVectors.shape[1]dummy_weights = 0.1 * np.random.randn(dimVectors, 5)dummy_features = np.zeros((10, dimVectors))dummy_labels = np.zeros((10,), dtype=np.int32)    for i in xrange(10):words, dummy_labels[i] = dataset.getRandomTrainSentence()dummy_features[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)print "==== Gradient check for softmax regression ===="gradcheck_naive(lambda weights: softmaxRegression(dummy_features,dummy_labels, weights, 1.0, nopredictions = True), dummy_weights)print "\n=== Results ==="print softmaxRegression(dummy_features, dummy_labels, dummy_weights, 1.0)if __name__ == "__main__":sanity_check()

(part b)（2分）
解释当分类语料少于三句时为什么要引入正则化（实际上在大多数机器学习任务都这样）。
解答：为了避免训练集的过拟合以及对未知数据集的适应力不佳现象。

(part c)（4分）
在q4 sentiment.py中完成超参数的实现代码从而获取“最佳”的惩罚因子。你是如何选择的？报告你的训练、调试和测试精度，在最多一个句子中校正你的超参数选定方法。 注释：在开发中应该获取至少30%的准确率。
解答：参考值为1e-4，在调试、开发和测试过程中准确率分别为29.1%，31.4％和27.6%

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltfrom cs224d.data_utils import *from q3_sgd import load_saved_params, sgd
from q4_softmaxreg import softmaxRegression, getSentenceFeature, accuracy, softmax_wrapper# 试试不同的正则化系数，选最好的
REGULARIZATION = [0.0, 0.00001, 0.00003, 0.0001, 0.0003, 0.001, 0.003, 0.01]# 载入数据集
dataset = StanfordSentiment()
tokens = dataset.tokens()
nWords = len(tokens)# 载入预训练好的词向量
_, wordVectors0, _ = load_saved_params()
wordVectors = (wordVectors0[:nWords,:] + wordVectors0[nWords:,:])
dimVectors = wordVectors.shape[1]# 载入训练集
trainset = dataset.getTrainSentences()
nTrain = len(trainset)
trainFeatures = np.zeros((nTrain, dimVectors))
trainLabels = np.zeros((nTrain,), dtype=np.int32)
for i in xrange(nTrain):words, trainLabels[i] = trainset[i]trainFeatures[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)# 准备好训练集的特征
devset = dataset.getDevSentences()
nDev = len(devset)
devFeatures = np.zeros((nDev, dimVectors))
devLabels = np.zeros((nDev,), dtype=np.int32)
for i in xrange(nDev):words, devLabels[i] = devset[i]devFeatures[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)# 尝试不同的正则化系数
results = []
for regularization in REGULARIZATION:random.seed(3141)np.random.seed(59265)weights = np.random.randn(dimVectors, 5)print "Training for reg=%f" % regularization # batch optimizationweights = sgd(lambda weights: softmax_wrapper(trainFeatures, trainLabels, weights, regularization), weights, 3.0, 10000, PRINT_EVERY=100)# 训练集上测效果_, _, pred = softmaxRegression(trainFeatures, trainLabels, weights)trainAccuracy = accuracy(trainLabels, pred)print "Train accuracy (%%): %f" % trainAccuracy# dev集合上看效果_, _, pred = softmaxRegression(devFeatures, devLabels, weights)devAccuracy = accuracy(devLabels, pred)print "Dev accuracy (%%): %f" % devAccuracy# 保存结果权重results.append({"reg" : regularization, "weights" : weights, "train" : trainAccuracy, "dev" : devAccuracy})# 输出准确率
print ""
print "=== Recap ==="
print "Reg\t\tTrain\t\tDev"
for result in results:print "%E\t%f\t%f" % (result["reg"], result["train"], result["dev"])
print ""# 选最好的正则化系数
BEST_REGULARIZATION = None
BEST_WEIGHTS = Nonebest_dev = 0
for result in results:if result["dev"] > best_dev:best_dev = result["dev"]BEST_REGULARIZATION = result["reg"]BEST_WEIGHTS = result["weights"]# Test your findings on the test set
testset = dataset.getTestSentences()
nTest = len(testset)
testFeatures = np.zeros((nTest, dimVectors))
testLabels = np.zeros((nTest,), dtype=np.int32)
for i in xrange(nTest):words, testLabels[i] = testset[i]testFeatures[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)_, _, pred = softmaxRegression(testFeatures, testLabels, BEST_WEIGHTS)
print "Best regularization value: %E" % BEST_REGULARIZATION
print "Test accuracy (%%): %f" % accuracy(testLabels, pred)# 画出正则化和准确率的关系
plt.plot(REGULARIZATION, [x["train"] for x in results])
plt.plot(REGULARIZATION, [x["dev"] for x in results])
plt.xscale('log')
plt.xlabel("regularization")
plt.ylabel("accuracy")
plt.legend(['train', 'dev'], loc='upper left')
plt.savefig("q4_reg_v_acc.png")
plt.show()

(d)（4分）绘出在训练和开发过程中的分类准确率，并在x轴使用对数刻度来对正则化值进行相关设置。这应该自动化的进行。包括在你作业中详细展示的坐标图q4_reg_acc.png。简明解释最多三个句子在此坐标图中的显示情况。
解答：