一类含奇点函数的数值积分方法

摘要:对于含奇点函数的积分问题,由于奇点的存在,使得Richarson外推的条件不成立,致使Romberg算法加速效果很差.通过推导该类函数积分的梯形公式的渐进估计式,得到了考虑奇点影响的外推算法―类Romberg算法.数值试验表明,该算法对于含奇点的函数的积分问题具有很好的加速效果.

关键词:数值积分;Richardson外推;奇点;Romberg算法

文献标识码:A

A Numerical Integration Method for a Class

of the Functions with Singular Points

YANG Lu?feng1, JIN Yun?chao2

(1.Research Institute of Numerical Computation and Engineering

Application, The North University for Ethnics, Yinchuan 750021,

China;

2.Guangdong Industry and Trade Vocational School, Foshan

528237, China)

Abstract:

For a class of the functions which contains singular points,

the Romberg method is ineffective because of the singularities.

This paper adopts the trapezoidal asympotic formula, and provides a

novel formulation deduced for the functions, which takes the

influence of the singularities into account, like Romberg method.

The numerical tests show that the formulation is quite efficient

for the class of these functions.

Key words:

numerical integration; Richardson extrapolation; singular

points; Romberg method

数值微分与数值积分积分在工程实际中得到广泛应用［1］，国内外众多学者在数值积分领域提出了许多新的计算方法［2-3］,Romberg算法因其收敛速度快被得到广泛应用［4-5］，但对于被积函数存在奇点(被积函数或导数不存在或者不连续点)的一类积分问题，如：I=∫10

xdx和I=∫10 3x•e－xdx等，直接利用Romberg算法求解,计算效果很差.

文中针对I=∫10 xαf(x)dx, 0

T(h2)=I+c?1(h2)β?1+c?2(h2)β?2+c?3(h2)β?3+…,(7)

(7)×2β?1－(3),得

2β?1T(h2)－T(h)2β?1－1=I+γ?2hβ?2+γ?3hβ?3+….

通过上面的计算，在没有额外增加计算函数值次数的前提下,

将计算误差从O(h2)提高到O(h4).如此循环下去即可得到此类积分问题的加速算法――类Romberg算法.

2 算法描述

类Romberg算法的计算公式为：

T(0,0)=b－a2［f(a)+f(b)］,

T(n,0)=12T(n－1,0)+b－a2k∑2n－1i=1f(a+(2i－1)b－a2k),T(n,m)=T(n,m－1)+12β?m－1［T(n,m－1)－T(n－1,m－1)］.

(8)

在实际计算过程中并不能无限制的外推下去，因为,式(8)表明每步外推相当于对当前步的积分近似值加一个修正，当m较大时，修正量很小，几乎起不到修正的作用，并且由于计算量的增加增大了舍入误差的影响.因此，在类Romberg算法的计算中通常设定外推次数为6~8，当超过规定的外推次数，仍没有达到要求的控制精度时，以后的计算只将积分区间进行对分而不再进行进一步外推.

3 数值实验

例1 分别利用Romberg算法和改进类Romberg算法求积分

I?1=∫10 x•cos xdx .

计算结果见表1，2种算法对分区间与相邻2次计算的误差关系如图1所示.

其中k表示积分区间对分次数，n=2k表示子区间数，R(n),RI(n)分别表示积分区间分成n个子区间时Romberg算法和改进类Romberg算法计算的积分值,ER,ERI分别表示其相邻2次对分区间积分值的绝对误差.

例2 分别利用Romberg算法和改进类Romberg算法求积分

I?2=∫1?03x•e－xdx.

计算结果见表2，2种算法对分区间与相邻2次计算的误差关系如图2所示

4 结论

对不满足Richardson外推条件的一类含奇点的函数I=∫1?0xαf(x)dx,0

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