掷骰子题解（期望DP）

题目描述

一行有 N N N个格子，编号为 1 , 2 , … , N 1,2,\dots,N 1,2,…,N，你站在格子 1 1 1处。前 N − 1 N-1 N−1个格子中，每个格子中都有一枚特殊的骰子。第 i i i个格子上的骰子，标有 0 , 1 , … , A i 0,1,\dots,A_i 0,1,…,Ai这些数。你每到一个格子，就会掷一次骰子，如果骰子掷出为 y y y，你当前在 i i i号格子，那么你可以跳到第 i + y i+y i+y号格子。骰子上的每一个数都是等概率出现的。问你走到第 N N N个格子时，期望要丢多少次骰子？答案对 998244353 998244353 998244353取模。对期望的取模的操作为：期望是一个分数，你先化简分数，分子乘上分母关于 998244353 998244353 998244353的逆元，得到一个整数，输出该整数。

输入格式

第一行输出 n n n。第二行有 n − 1 n-1 n−1个数，为 A 1 , A 2 , … , A n − 1 A_1,A_2,\dots,A_{n-1} A1,A2,…,An−1

输出格式

输出答案

输入样例1

3
1 1

输出样例1

输出样例2

5
3 1 2 1

输出样例2

332748122

数据范围

2 ≤ N ≤ 2 ∗ 1 0 5 , 1 ≤ A i ≤ N − i ( 1 ≤ i ≤ N − 1 ) 2\leq N\leq 2*10^5,1\leq A_i\leq N-i(1\leq i\leq N-1) 2≤N≤2∗105,1≤Ai≤N−i(1≤i≤N−1)

题解

这是一道期望DP，设 f i f_i fi表示走到第 i i i个格子时期望要走多少次才能到第 N N N个格子， f N = 0 f_N=0 fN=0，可以列出转移式：

f i = ∑ j = i i + A i f j A i + 1 + 1 f_i=\frac{\sum\limits_{j=i}^{i+A_i}f_j}{A_i+1}+1 fi=Ai+1j=i∑i+Aifj+1

在第 i i i个格子，等概率到第 i i i到 i + A i i+A_i i+Ai个格子。但是，观察可得， f i f_i fi的转移式是包括 f i f_i fi本身的，所以我们需要做一些调整。两边同时减去 f i A i + 1 \frac{f_i}{A_i+1} Ai+1fi得

A i A i + 1 f i = ∑ j = i + 1 i + A i f j A i + 1 + 1 \frac{A_i}{A_i+1}f_i=\frac{\sum\limits_{j=i+1}^{i+A_i}f_j}{A_i+1}+1 Ai+1Aifi=Ai+1j=i+1∑i+Aifj+1

两边同时乘 A i + 1 A i \frac{A_i+1}{A_i} AiAi+1得

f i = ∑ j = i + 1 i + A i f j A i + A i + 1 A i f_i=\frac{\sum\limits_{j=i+1}^{i+A_i}f_j}{A_i}+\frac{A_i+1}{A_i} fi=Aij=i+1∑i+Aifj+AiAi+1

用前缀和维护 f f f数组，即可线性求解。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long mod=998244353,a[200005],f[200005],sum[200005];
long long mi(long long t,long long v){if(v==0) return 1;long long re=mi(t,v/2);re=re*re%mod;if(v&1) re=re*t%mod;return re;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}for(int i=n-1;i>=1;i--){f[i]=(sum[i+1]-sum[i+a[i]+1]+mod)%mod;f[i]=(f[i]+a[i]+1)%mod;f[i]=f[i]*mi(a[i],mod-2)%mod;sum[i]=(sum[i+1]+f[i])%mod;}printf("%lld",f[1]);return 0;
}