python机器学习案例系列教程——GBDT算法、XGBOOST算法

全栈工程师开发手册（作者：栾鹏）
python数据挖掘系列教程

GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是ft−1(x)f_{t−1}(x)ft−1(x), 损失函数是L(y,ft−1(x))L(y,f_{t−1}(x))L(y,ft−1(x)), 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器ht(x)h_t(x)ht(x)，让本轮的损失损失L(y,ft(x))=L(y,ft−1(x)+ht(x))L(y,f_t(x))=L(y,f_{t−1}(x)+h_t(x))L(y,ft(x))=L(y,ft−1(x)+ht(x))最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。

从上面的例子看这个思想还是蛮简单的，但是有个问题是这个损失的拟合不好度量，损失函数各种各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？

GBDT的负梯度拟合

在上一节中，我们介绍了GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第ttt轮的第iii个样本的损失函数的负梯度表示为
rti=−[∂L(yi,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1(x)r_{ti}=−[ \frac {∂L(y_i,f(x_i)))}{∂f(x_i)}]_{f(x)=f_{t−1}(x)}rti=−[∂f(xi)∂L(yi,f(xi)))]f(x)=ft−1(x)

利用(xi,rti)(i=1,2,..m)(x_i,r_{ti})(i=1,2,..m)(xi,rti)(i=1,2,..m),我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第ttt颗回归树，其对应的叶节点区域Rtj,j=1,2,...,JR_{tj},j=1,2,...,JRtj,j=1,2,...,J。其中JJJ为叶子节点的个数。

针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值ctjc_{tj}ctj如下：
ctj=argmin⏟c∑xi∈RtjL(yi,ft−1(xi)+c)c_{tj}=\underbrace{ arg min}_{\rm c} \sum_{x_i∈R_{tj}} L(y_i,f_{t−1}(x_i)+c)ctj=cargminxi∈Rtj∑L(yi,ft−1(xi)+c)

这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下：
ht(x)=∑j=1JctjI(x∈Rtj)h_t(x)=\sum_{j=1}^Jc_{tj}I(x∈R_{tj})ht(x)=j=1∑JctjI(x∈Rtj)

从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：
ft(x)=ft−1(x)+∑j=1JctjI(x∈Rtj)f_t(x)=f_{t−1}(x)+\sum_{j=1}^Jc_{tj}I(x∈R_{tj})ft(x)=ft−1(x)+j=1∑JctjI(x∈Rtj)
　　　　
通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

GBDT回归算法

好了，有了上面的思路，下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起？那是因为分类算法的输出是不连续的类别值，需要一些处理才能使用负梯度，我们后面讲。

输入是训练集样本T=(x1,y1),(x2,y2),...(xm,ym)T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_m,y_m)}T=(x1,y1),(x2,y2),...(xm,ym)，最大迭代次数T, 损失函数L。

输出是强学习器f(x)f(x)f(x)

初始化弱学习器
f0(x)=argmin⏟c∑i=1mL(yi,c)f_0(x)=\underbrace{ arg min}_{\rm c} \sum_{i=1}^m L(y_i,c)f0(x)=cargmini=1∑mL(yi,c)
对迭代轮数t=1,2,...Tt=1,2,...Tt=1,2,...T有：

a)对样本i=1,2，...mi=1,2，...mi=1,2，...m，计算负梯度
rti=−[∂L(yi,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1(x)r_{ti}=−[ \frac {∂L(y_i,f(x_i)))}{∂f(x_i)}]_{f(x)=f_{t−1}(x)}rti=−[∂f(xi)∂L(yi,f(xi)))]f(x)=ft−1(x)
　　b)利用(xi,rti)(i=1,2,..m)(x_i,r_{ti})(i=1,2,..m)(xi,rti)(i=1,2,..m), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为Rtj,j=1,2,...,JR_{tj},j=1,2,...,JRtj,j=1,2,...,J。其中JJJ为回归树t的叶子节点的个数。

c) 对叶子区域j=1,2,..Jj =1,2,..Jj=1,2,..J,计算最佳拟合值
ctj=argmin⏟c∑xi∈RtjL(yi,ft−1(xi)+c)c_{tj}=\underbrace{ arg min}_{\rm c} \sum_{x_i∈R_{tj}} L(y_i,f_{t−1}(x_i)+c)ctj=cargminxi∈Rtj∑L(yi,ft−1(xi)+c)
　　　　　　
　　d) 更新强学习器
ft(x)=ft−1(x)+∑j=1JctjI(x∈Rtj)f_t(x)=f_{t−1}(x)+\sum_{j=1}^Jc_{tj}I(x∈R_{tj})ft(x)=ft−1(x)+j=1∑JctjI(x∈Rtj)
3) 得到强学习器f(x)的表达式
f(x)=fT(x)=f0(x)+∑t=1T∑j=1JctjI(x∈Rtj)f(x)=f_T(x)=f_0(x)+\sum_{t=1}^T\sum_{j=1}^Jc_{tj}I(x∈R_{tj})f(x)=fT(x)=f0(x)+t=1∑Tj=1∑JctjI(x∈Rtj)

GBDT分类算法

这里我们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。

4.1 二元GBDT分类算法

对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))

其中y∈{−1,+1}y∈\{−1,+1\}y∈{−1,+1}。则此时的负梯度误差为
rti=−[∂L(y,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1(x)=yi/(1+exp(yif(xi)))r_{ti}=−[\frac {∂L(y,f(x_i)))}{∂f(x_i)}]_{f(x)=f_{t−1}(x)}=y_i/(1+exp(y_if(x_i)))rti=−[∂f(xi)∂L(y,f(xi)))]f(x)=ft−1(x)=yi/(1+exp(yif(xi)))

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为
ctj=argmin⏟c∑xi∈Rtjlog(1+exp(−yi(ft−1(xi)+c)))c_{tj}=\underbrace{ arg min}_{\rm c} \sum_{x_i∈R_{tj}} log(1+exp(−y_i(f_{t−1}(x_i)+c)))ctj=cargminxi∈Rtj∑log(1+exp(−yi(ft−1(xi)+c)))
　　　　　
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
ctj=∑xi∈Rtjrti/∑xi∈Rtj∣rti∣(1−∣rti∣)c_{tj}=\sum_{x_i∈R_{tj}} r_{ti}/\sum_{x_i∈R_{tj}} |r_{ti}|(1−|r_{ti}|)ctj=xi∈Rtj∑rti/xi∈Rtj∑∣rti∣(1−∣rti∣)

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

4.2 多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：
L(y,f(x))=−∑k=1Kyklog⁡pk(x)L(y,f(x))=−\sum_{k=1}^Ky_k \log p_k(x)L(y,f(x))=−k=1∑Kyklogpk(x)

其中如果样本输出类别为kkk，则yk=1y_k=1yk=1。第kkk类的概率pk(x)p_k(x)pk(x)的表达式为：
pk(x)=exp(fk(x))/∑l=1Kexp(fl(x))p_k(x)=exp(f_k(x))/\sum_{l=1}^K exp(f_l(x))pk(x)=exp(fk(x))/l=1∑Kexp(fl(x))

通过上式我们可以看出，我们是将类别进行one-hot编码，每个输出都要建一颗决策树，一个样本通过K个决策树，得到K个输出，在通过softmax函数，获得K个概率。

集合上两式，我们可以计算出第ttt轮的第iii个样本对应类别lll的负梯度误差为
rtil=−[∂L(yi,f(xi)))∂f(xi)]fk(x)=fl,t−1(x)=yil−pl,t−1(xi)r_{til}=−[\frac {∂L(y_i,f(x_i)))}{∂f(x_i)}]_{f_k(x)=f_{l,t−1}(x)}=y_{il}−p_{l,t−1}(x_i)rtil=−[∂f(xi)∂L(yi,f(xi)))]fk(x)=fl,t−1(x)=yil−pl,t−1(xi)

观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本iii对应类别lll的真实概率和t−1t−1t−1轮预测概率的差值。

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为
ctjl=argmin⏟cjl∑i=0m∑k=1KL(yk,ft−1,l(x)+∑j=0JcjlI(xi∈Rtj))c_{tjl}=\underbrace{ arg min}_{\rm c_{jl}} \sum_{i=0}^{m} \sum_{k=1} ^K L(y_k,f_{t−1,l}(x)+\sum_{j=0}^Jc_{jl}I(x_i∈R_{tj}))ctjl=cjlargmini=0∑mk=1∑KL(yk,ft−1,l(x)+j=0∑JcjlI(xi∈Rtj))

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
ctjl=K−1K∑xi∈Rtjlrtil∑xi∈Rtil∣rtil∣(1−∣rtil∣)c_{tjl}=\frac{K−1}{K} \frac{\sum_{x_i∈R_{tjl}}r_{til}}{∑_{x_i∈R_{til}}|r_{til}|(1−|r_{til}|)}ctjl=KK−1∑xi∈Rtil∣rtil∣(1−∣rtil∣)∑xi∈Rtjlrtil

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

GBDT常用损失函数

这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为
L(y,f(x))=exp(−yf(x))L(y,f(x))=exp(−yf(x))L(y,f(x))=exp(−yf(x))

其负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合参见Adaboost原理篇。

b) 如果是对数损失函数，也就是前面说的二元分类和多元分类两种，

对于回归算法，常用损失函数有如下4种:

a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了
L(y,f(x))=(y−f(x))2L(y,f(x))=(y−f(x))^2L(y,f(x))=(y−f(x))2

b)绝对损失，这个损失函数也很常见
L(y,f(x))=∣y−f(x)∣L(y,f(x))=|y−f(x)|L(y,f(x))=∣y−f(x)∣

对应负梯度误差为：
sign(yi−f(xi))sign(y_i−f(x_i))sign(yi−f(xi))

c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：
L(y,f(x))={0.5(y−f(x))2,∣y−f(x)∣≤δδ(∣y−f(x)∣−0.5δ),∣y−f(x)∣>δL(y,f(x))= \begin{cases} 0.5(y−f(x))^2, & {|y−f(x)|≤δ} \\ δ(|y−f(x)|−0.5δ), & {|y−f(x)|>δ} \end{cases} L(y,f(x))={0.5(y−f(x))2,δ(∣y−f(x)∣−0.5δ),∣y−f(x)∣≤δ∣y−f(x)∣>δ

对应的负梯度误差为：
　　　　
r(yi,f(xi))={yi−f(xi),∣yi−f(xi)∣≤δδsign(yi−f(xi)),∣yi−f(xi)∣>δr(y_i,f(x_i))= \begin{cases} y_i−f(x_i), & {|y_i−f(x_i)|≤δ} \\ δsign(y_i−f(x_i)), & {|y_i−f(x_i)|>δ} \end{cases} r(yi,f(xi))={yi−f(xi),δsign(yi−f(xi)),∣yi−f(xi)∣≤δ∣yi−f(xi)∣>δ

d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为
L(y,f(x))=∑y≥f(x)θ∣y−f(x)∣+∑y<f(x)(1−θ)∣y−f(x)∣L(y,f(x))=\sum_{y≥f(x)} θ|y−f(x)|+\sum_{y<f(x)}(1−θ)|y−f(x)|L(y,f(x))=y≥f(x)∑θ∣y−f(x)∣+y<f(x)∑(1−θ)∣y−f(x)∣

其中θ为分位数，需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为：
r(yi,f(xi))={θ,yi≥f(xi)θ−1,yi<f(xi)r(y_i,f(x_i))= \begin{cases} θ, & {y_i≥f(x_i)} \\ θ−1, & {y_i<f(x_i)} \end{cases} r(yi,f(xi))={θ,θ−1,yi≥f(xi)yi<f(xi)

对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。

GBDT的正则化

和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为ννν,对于前面的弱学习器的迭代
fk(x)=fk−1(x)+hk(x)f_k(x)=f_{k−1}(x)+h_k(x)fk(x)=fk−1(x)+hk(x)

如果我们加上了正则化项，则有
fk(x)=fk−1(x)+νhk(x)f_k(x)=f_{k−1}(x)+νh_k(x)fk(x)=fk−1(x)+νhk(x)

ννν的取值范围为0<ν≤10<ν≤10<ν≤1。对于同样的训练集学习效果，较小的ννν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。

使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。

第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过，这里就不重复了。

GBDT小结

GBDT终于讲完了，GDBT本身并不复杂，不过要吃透的话需要对集成学习的原理，决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。

最后总结下GBDT的优缺点。

GBDT主要的优点有：

1) 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。GBDT使用的是cart树模型，可以处理连续值和离散值特征。对于连续值节点划分时，按照大于小于分割点，对于离散值，按照等于不等于划分分割点。

2) 在相对少的调参时间情况下，预测的准备率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。

3）使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

GBDT的主要缺点有：

1)由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。
　　　　2）对于稀疏矩阵，容易过拟合，比lr和fm效果要差，是因为若数据中存在假象数据（例如特征f1为1的样本，输出类别都是1），树模型没法进行过拟合处理。而lr或fm可以通过正则化，压缩w1的值。

xgboost特点

GBDT中第n颗树训练时，需要用到第n-1颗树的（近似）残差。从这个角度来看，gbdt比较难以实现分布式。而xgboost从下面这个角度着手

注：红色箭头指向的lll即为损失函数；红色方框为正则项，包括L1、L2；红色圆圈为常数项。
利用泰勒展开三项，做一个近似，我们可以很清晰地看到，最终的目标函数只依赖于每个数据点的在误差函数上的一阶导数和二阶导数。

（1）定义树的复杂度

对于fff的定义做一下细化，把树拆分成结构部分qqq和叶子权重部分www。下图是一个具体的例子。结构函数qqq把输入映射到叶子的索引号上面去，而www给定了每个索引号对应的叶子分数是什么。

定义这个复杂度包含了一棵树里面节点的个数，以及每个树叶子节点上面输出分数的L2模平方。当然这不是唯一的一种定义方式，不过这一定义方式学习出的树效果一般都比较不错。下图还给出了复杂度计算的一个例子。

注：方框部分在最终的模型公式中控制这部分的比重,对应模型参数中的lambda ，gamma

在这种新的定义下，我们可以把目标函数进行如下改写，其中III被定义为每个叶子上面样本集合Ij={i∣q(xi)=j}I_j=\{i|q(x_i)=j\}Ij={i∣q(xi)=j}，g是一阶导数，h是二阶导数

这一个目标包含了T个相互独立的单变量二次函数。我们可以定义

最终公式可以化简为

通过对wjw_jwj求导等于0，可以得到

然后把wjw_jwj最优解代入得到：

（2）打分函数计算示例

Obj代表了当我们指定一个树的结构的时候，我们在目标上面最多减少多少。我们可以把它叫做结构分数(structure score)

（3）分裂节点

论文中给出了两种分裂节点的方法

（1）贪心法：

每一次尝试都对已有的叶子加入一个分割

对于每次扩展，我们还是要枚举所有可能的分割方案，如何高效地枚举所有的分割呢？我假设我们要枚举所有x < a 这样的条件，对于某个特定的分割a我们要计算a左边和右边的导数和。

我们可以发现对于所有的a，我们只要做一遍从左到右的扫描就可以枚举出所有分割的梯度和GL和GR。然后用上面的公式计算每个分割方案的分数就可以了。

观察这个目标函数，大家会发现第二个值得注意的事情就是引入分割不一定会使得情况变好，因为我们有一个引入新叶子的惩罚项。优化这个目标对应了树的剪枝，当引入的分割带来的增益小于一个阀值的时候，我们可以剪掉这个分割。大家可以发现，当我们正式地推导目标的时候，像计算分数和剪枝这样的策略都会自然地出现，而不再是一种因为heuristic（启发式）而进行的操作了。

xgboost对比gbdt

1.传统GBDT以CART作为基分类器，xgboost还支持线性分类器，这个时候xgboost相当于带L1和L2正则化项的逻辑斯蒂回归（分类问题）或者线性回归（回归问题）。

2.传统GBDT在优化时只用到一阶导数信息，xgboost则对代价函数进行了二阶泰勒展开，同时用到了一阶和二阶导数。顺便提一下，xgboost工具支持自定义代价函数，只要函数可一阶和二阶求导。

3.xgboost在代价函数里加入了正则项，用于控制模型的复杂度。正则项里包含了树的叶子节点个数、每个叶子节点上输出的score的L2模的平方和。从Bias-variance tradeoff角度来讲，正则项降低了模型variance，使学习出来的模型更加简单，防止过拟合，这也是xgboost优于传统GBDT的一个特性

4、Shrinkage（缩减），相当于学习速率（xgboost中的eta）。xgboost在进行完一次迭代后，会将叶子节点的权重乘上该系数，主要是为了削弱每棵树的影响，让后面有更大的学习空间。实际应用中，一般把eta设置得小一点，然后迭代次数设置得大一点。（补充：传统GBDT的实现也有学习速率）

5、列抽样（column subsampling）。xgboost借鉴了随机森林的做法，支持列抽样，不仅能降低过拟合，还能减少计算，这也是xgboost异于传统gbdt的一个特性。

6、对缺失值的处理。对于特征的值有缺失的样本，xgboost可以自动学习出它的分裂方向。

7、xgboost工具支持并行。boosting不是一种串行的结构吗?怎么并行的？注意xgboost的并行不是tree粒度的并行，xgboost也是一次迭代完才能进行下一次迭代的（第t次迭代的代价函数里包含了前面t-1次迭代的预测值）。xgboost的并行是在特征粒度上的。我们知道，决策树的学习最耗时的一个步骤就是对特征的值进行排序（因为要确定最佳分割点），xgboost在训练之前，预先对数据进行了排序，然后保存为block结构，后面的迭代中重复地使用这个结构，大大减小计算量。这个block结构也使得并行成为了可能，在进行节点的分裂时，需要计算每个特征的增益，最终选增益最大的那个特征去做分裂，那么各个特征的增益计算就可以开多线程进行。

8、可并行的近似直方图算法。树节点在进行分裂时，我们需要计算每个特征的每个分割点对应的增益，即用贪心法枚举所有可能的分割点。当数据无法一次载入内存或者在分布式情况下，贪心算法效率就会变得很低，所以xgboost还提出了一种可并行的近似直方图算法，用于高效地生成候选的分割点。