质数的无穷性——从素数到数论

很多自然数都可分解成一些更小的数（直至不可再分，即为素数）的乘积，例如 12=4×312=4\times 3，其中 4=2×24=2\times 2，因此 12=2×2×312=2\times 2\times 3。而此时，2 和 3都不可再继续进行分解了，它们是最基本、最纯净的数，我们就把这样的数叫做“质数”或者“素数”。同样地，2/3/5/7/11/13等等都是不可分解的，它们也都是质数。它们是自然数的构件（building blocks），是自然数世界的基本元素。12 由两个 2 和一个 3 组成，正如水分子（H2OH_2O）是由两个氢原子和一个氧原子组成的一样。只不过，和化学世界不同的是，自然数世界里的基本元素是无限的——质数有无穷多个。

关于为什么质数有无穷多个，欧几里得有一个非常漂亮的证明。反证法进行证明，假如质数只有有限个，其中最大的那个质数为 PP（既然是最大的，也即，凡大于 PP 的数均不是素数）。现在把所有的质数连乘起来，再加一，得到一个新的数 NN，也即，N=2⋅3⋅4⋅5⋅…⋅P+1N=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot P+1，注意到 NN除以每一个质数都会余1。这意味着，NN 不能被任意一个质数整除，换句话说 NN 不可被分解，也即为素数。于是产生矛盾。质数有无限多个。

需要补充的的一点是，这个证明容易让人产生误解，即把头 nn个质数连乘起来再加1，总能产生一个新的质数。这是不对的，因为既然只是选择的前 nn个（哪怕 nn 很大），那么所得数就有可能是那些我们没有乘进去的质数构成的，比如2⋅3⋅4⋅5⋅7⋅11⋅13+1=300312\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031，它可以被分解为 59×50959\times 509。

从欧几里得时代就开始，人们近乎疯狂地想要认识自然数的本质规律。组成自然数的基本元素（也即是质数）自然就成为了一个绝佳的突破口，于是对质数的研究成为了探索自然数世界的一个永久的话题。也是今天所说的“数论”。

用质数理论来研究说，真的会非常方便。aa 是 bb 的倍数（或者说 aa 能被 bb 整除，bb 是 aa 的约数），意为 aa 拥有 bb 所含的每一种质数，并且个数不会更少，12=2×2×3,a=12×15=2×2×3×3×512=2\times 2\times 3,a=12\times 15=2\times 2\times 3\times 3\times 5，

12 中有两个2，180 中也有两个2
12 中有一个3，180 中有两个3
180 中还包含 12 中没有的质数，也即是 5；
对于每一种质数，12 里面所含的个数都比不过 180，这其实是表明 12 是 180 的约数；

假设 a=36=2×2×3×3,b=120=5!=2×2×2×3×5a = 36=2\times 2\times 3\times 3,\;b=120=5!=2\times 2\times 2\times 3\times 5，那么，aa 和 bb 的最大公约数是多少？我们可以依次考察，最大公约数里面可能会包含哪些质数，以及每个质数的个数。

这个最大公约数最多可以包含多少个质数2？显然最多包含 2 个，否则无法整除 3636
这个最大公约数最多可以包含多少个质数 3？显然只有一个，否则无法整除 120.
这个最大公约数最多可以包含多少个质数 5？显然一个都不能有，否则无法整除 36；
因此，3636 和 120120 的最大公约数为 2×2×3=122\times 2\times 3=12

我们接着来看 aa 和 bb 的最小公倍数的构造。我们希望每种质数在数量足够的前提下越少越好（最小上界），为了让这个数既是 aa 的倍数，又是 bb 的倍数，三个2是必须的，两个3是必须的，一个5也是必须的。因此，aa 和 bb 的最小公倍数就是 23×32×51=3602^3\times 3^2\times 5^1=360。便会发现 12×360=36×36012\times 360=36\times 360.

这其实也不奇怪，在最大公约数里面，每种质数有多少个，取决于 aa 和 bb 当中谁含的这种质数更少一些，

36=2×2×3×3120=2×2×2×3×5

\begin{split} &36=\underbrace{2\times2}\times3\times3\underbrace{}\\ &120=2\times2\times2\times\underbrace 3\times5 \end{split}
在最小公倍数的构成里面，每种质数有多少个，取决于 aa 和 bb 当中谁所包含的这种质数更多一些，

36=2×2×3×3120=2×2×2×3×5

\begin{split} &36=2\times 2\times \underbrace{3\times3}\\ &120=\underbrace{2\times 2\times 2}\times 3\times \underbrace{5} \end{split}

两者“互补”，最大公约数与最小公倍数乘在一起，也就相当于把 aa 和 bb 各自所包含的质数都乘了一个遍。这即刻为我们带来了一个熟悉的推论：如果两数互质（最大公约数为1），这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。

两数互质，相当于说这两个数不包含任何相同的质数，如果 aa 与 cc 互质，bb 与 cc 互质，显然 a⋅ba\cdot b 也与 cc 互质。还有另外一个结论，如果 aa 与 bb 是两个不同的质数，则这两个数一定是互质的。

关于质数，有很多有趣美妙的定理。1640年，法国业余数学家 Pierre de Fermat（也即是费马大定理的提出者：费马）发现，如果 nn 为质数，那么对于任意一个数 aa，aa 的 nn 次方减去 aa 都将是 nn 的倍数（n|an−an|a^n-a ）。例如，7是一个质数，则 27−2,37−3,47−42^7-2,3^7-3,4^7-4，甚至 1007−100100^7-100，统统都能被 77 整除。

Fermat 小定理有一个等价的表述：如果 nn 是一个质数的话，那么对于任意一个数 aa，随着 ii 的增加，ai%na^i\;\%\;n（也即关于 nn 的余数）将会呈现长度为 n−1n-1 的周期性，也即 ai%n=ai+n−1%na^i\;\%\;n=a^{i+n-1}\;\%\;n。

这是因为 n|an−an|a^n-a，也即 an≡a(modn)a^n\equiv a\pmod n，也即依次计算 a1,a2,…,ana^1,a^2,\ldots,a^n 关于 nn 的余数时，ana^n 余数将会变得和 a1a^1（最开始的）相同，
另一方面，ai%na^i\;\%\;n 的余数，完全由前一项 ai−1%na^{i-1}\;\%\;n （所决定）。比如 33/73^3/7 的 3余6，这表明，333^3 里包含 3 个 7 以及一个 6；因此，343^4 里就包含 9 个 7（能够被7整除）以及 3个6。为了得到 34=33⋅33^4=3^3\cdot 3 关于 77 的余数，只需要看 18 除以 7 余多少就行了。可见，要想计算 aia^i 关于 nn 的余数，ai%n=[a⋅(ai−1%n)]%na^{i}\;\%\;n=\left [a\cdot (a^{i-1}\;\%\;n) \right ]\;\%\;n
综上，得证

>>> a, n, N = 3, 7, 20
>>> [a**i%n for i in range(1, N)][3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3]

需要注意的是，n−1n-1 并非是最小的周期。我们来看 2i2^i 除以7的余数情况，7−1=67-1=6 也是一个周期，但 3 其实是它更小的周期：

>>> a, n, N = 2, 7, 20
>>> [a**i%n for i in range(1, N)]
[2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2]

如果除数 nn 不是质数（而非质数是由质数构成），比如是两个质数的乘积（比如 35），周期的长度又会怎样呢？3i3^i 关于 35 的余数又有什么规律呢？注意到 5 和 7是两个不同的质数，它们显然直接就互质了。根据中国剩余定理，一个数除以 35 的余数就可以唯一地由它除以 5 的余数和除以 7 的余数确定出来。因而，为了研究 3i3^i 除以 35 的余数，我们只需要观察 3i%5,3i%73^i\;\%\;5,3^i\;\%\;7 即可。由费马小定理可知，数列 3i%53^i\;\%\;5 有一个长为 4 的周期，数列 3i%73^i\;\%\;7 有一个长为 6 的周期。4 和 6 的最小公倍数是 12，因此 3i%5,3i%73^i\;\%\;5,3^i\;\%\;7 存在一个长为 12 的周期。到了 i=13i=13 时，3i%5,3i%73^i\;\%\;5,3^i\;\%\;7 将会开始重复，也即 3i3^i 除以 35的余数将从此处开始发生循环。

>>> a, n, N = 3, 35, 37
>>> l = [a**i%n for i in range(1, 1+N)]
>>> print([l[i*12:(i+1)*12] for i in range(len(l))])[   [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1], [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1], [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1]
]

类似地，假如某个整数 nn 等于两个质数 pp、qq 的乘积，那么对于任意一个整数 aa，写出 aia^i 依次除以 nn 所得的余数序列，(p−1)、(q−1)(p-1)、(q-1)的最小公倍数将称为该序列的一个周期。事实上，p−1p-1 和 q−1q-1 的任意一个公倍数，比如表达起来最为方便的 (p−1)×(q−1)(p-1)\times (q-1)，也将成为该序列的一个周期。这个规律可以用来解释很多数学现象。例如，大家可能早就注意过，任何一个数的乘方（aia^i），其个位数（%10\%\;10）都会呈现出长度为 4 的周期（这包括周期为1（5）和周期为2（4）的情况），其实是因为，10 等于 2 和 5 这两个质数的乘积，而 (2−1)×(5−1)=4(2-1)\times(5-1)=4。

1736年，瑞士大数学家 Leonhard Euler（欧拉）对此进行了进一步的研究，讨论了当 nn 是更复杂的数时推导余数序列循环周期的方法，得到了一个非常漂亮的结果：在 1 到 nn 的范围内有多少个数和 nn 互质（包括1在内），aa 的 ii 次方除以 nn 的余数序列就会有一个多长的周期。为了将上述定理和其他的 “Euler 定理”区别开来，有时也称它为 “Fermat-Euler” 定理。

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