Appendix B Trigonometry（附录B 三角函数）

“Life is good for only two things, discovering mathematics and teaching mathematics.”
-Simeon Poisson

附录B部分的内容旨在作为一些简单的三角函数定理的参考，同时还包含一些更复杂的定理公式。三角函数定理是计算机图形学中特别重要的工具函数。其中一个非常实用的功能是三角函数提供了简化公式的方法，从而提高计算的速度。

B.1 Definitions（定义）

图B.1 左图中显示了三角函数 sin，cos，tan \sin，\cos，\tan的几何定义表示。右图中显示了 px=cosϕ p_x=\cos\phi和 py=sinϕ p_y=\sin\phi共同描绘出的循环周期。

如图B.1所示，其中 p=(px,py) \mathbf{p}=(p_x,p_y)是一个单位向量，即 ∥p∥=1 \|\mathbf{p}\|=1，公式B.1中定义了基本的三角函数， sin，cos，tan \sin，\cos，\tan。

Fundamental trigonometric functions（基本三角函数）:sinϕ=pycosϕ=pxtanϕ=sinϕcosϕ=pypx(B.1)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black] { \begin{aligned} &\text{Fundamental trigonometric functions（基本三角函数）:}\\[2ex] &\sin\phi =p_y\\[2ex] &\cos\phi =p_x \\[2ex] &\tan\phi =\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{p_y}{p_x} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.1)}
如公式B.2所示， sin，cos，tan \sin，\cos，\tan函数可以扩展成MacLaurin series（麦克劳林级数）。麦克劳林级数是更通用的Taylor serices（泰勒级数）的一种特殊情况。泰勒级数是对一个任意的点进行扩展，而麦克劳林级数则是只针对 x=0 x=0的点进行扩展。

麦克劳林级数是非常有用的，因为该公式阐明了导数的一些来源（如公式B.4所示）。

MacLaurin serices（麦克劳林级数）:sinϕ=ϕ−ϕ33!+ϕ55!−ϕ77!+⋯+(−1)nϕ2n+1(2n+1)!+⋯cosϕ=1−ϕ22!+ϕ44!−ϕ66!+⋯+(−1)nϕ2n(2n)!+⋯tanϕ=ϕ+ϕ33+2ϕ515+⋯+(−1)n−122n(22n−1)(2n)!B2nϕ2n−1+⋯(B.2)

\bbox[10px,border:2px solid black] { \begin{aligned} &\text{MacLaurin serices（麦克劳林级数）:}\\[2ex] &\sin\phi =\phi - \frac{\phi^3}{3!} + \frac{\phi^5}{5!} - \frac{\phi^7}{7!} + \cdots + (-1)^n\frac{\phi^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \\[2ex] &\cos\phi =1 - \frac{\phi^2}{2!} + \frac{\phi^4}{4!} - \frac{\phi^6}{6!} + \cdots + (-1)^n\frac{\phi^{2n}}{(2n)!} + \cdots \\[2ex] &\tan\phi =\phi + \frac{\phi^3}{3} + \frac{2\phi^5}{15} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}B_{2n}\phi^{2n-1} + \cdots \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.2)}
在前两个级数中 ϕ \phi 的取值范围为 −∞<ϕ<∞ -\infty，而最后一个级数中则为 −π/2<ϕ<π/2 -\pi/2，并且 Bn B_n 表示第 n n 个Bernoulli number（伯努利数）。

注：伯努利数可以使用一种递推公式生成，比如令B0=1B_0=1，对于 k>1 k>1，有 ∑k−1j=0(kj)Bj=0 \sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}B_j=0

这三个基本三角函数的反函数分别为， arcsin，arccos，arctan \arcsin，\arccos，\arctan，定义如公式B.3所示：

Inverses of trigonometric functions（基本三角函数的反函数）:py=sinϕ⇔ϕ=arcsinpy,−1≤py≤1,−π2≤ϕ≤π2px=cosϕ⇔ϕ=arccospx,−1≤px≤1,0≤ϕ≤πpypx=tanϕ⇔ϕ=arctanpypx,−∞≤pypx≤∞,−π2≤ϕ≤π2(B.3)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black] { \begin{aligned} &\text{Inverses of trigonometric functions（基本三角函数的反函数）:}\\[2ex] &p_y = \sin\phi \Leftrightarrow \phi=\arcsin p_y, \quad-1\leq p_y\leq1, \quad-\frac{\pi}{2}\leq\phi\leq\frac{\pi}{2} \\[2ex] &p_x = \cos\phi \Leftrightarrow \phi=\arccos p_x, \quad-1\leq p_x\leq1, \quad0\leq\phi\leq\pi \\[2ex] &\frac{p_y}{p_x}=\tan\phi \Leftrightarrow \phi=\arctan\frac{p_y}{p_x}, \quad-\infty\leq\frac{p_y}{p_x}\leq\infty, \quad-\frac{\pi}{2}\leq\phi\leq\frac{\pi}{2} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.3)}

基本三角函数和反函数的导数总结如下：

Trigonometric derivatives（三角函数的导数）:dsinϕdϕ=cosϕdcosϕdϕ=−sinϕdtanϕdϕ=1cos2ϕ=1+tan2ϕdarcsintdt=11−t2−−−−−√darccostdt=−11−t2−−−−−√darctantdt=11+t2(B.4)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black] { \begin{aligned} &\text{Trigonometric derivatives（三角函数的导数）:}\\[2ex] &\frac{d\sin\phi}{d\phi} =\cos\phi\\[2ex] &\frac{d\cos\phi}{d\phi} =-\sin\phi \\[2ex] &\frac{d\tan\phi}{d\phi} =\frac{1}{\cos^2\phi}=1+\tan^2\phi \\[2ex] &\frac{d\arcsin t}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \\[2ex] &\frac{d\arccos t}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \\[2ex] &\frac{d\arctan t}{dt}=\frac{1}{1+t^2} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.4)}

B.2 Trigonometric Laws and Formulae

图B.2 直角三角形及相关的记号表示

我们首先讨论直角三角形的基本定理。使用图B.2所示的记号，可以使用以下公式描述这些定理：

Right triangle laws（直角三角形定理）:sinα=accosα=bctanα=sinαcosα=ab(B.5)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Right triangle laws（直角三角形定理）:}\\[2ex] &\sin\alpha = \frac{a}{c} \\[2ex] &\cos\alpha = \frac{b}{c} \\[2ex] &\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{b} \\[2ex] \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.5)}

Pythagorean relation（勾股定理）:c2=a2+b2(B.6)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Pythagorean relation（勾股定理）:} &c^2=a^2+b^2 \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.6)}

图B.3 任意三角形及相关的记号表示

以下的著名定理对于任意的三角形都是有效的，其中所使用的记号如图B.3所示：

Law of sines（正弦定理）:Law of cosines（余弦定理）:Law of tangents（正切定理）:sinαa=sinβb=sinγcc2=a2+b2−2abcosγa+ba−b=tanα+β2tanα−β2(B.7)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} \text{Law of sines（正弦定理）:} &\quad\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c} \\[2ex] \text{Law of cosines（余弦定理）:} &\quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \\[2ex] \text{Law of tangents（正切定理）:} &\quad \frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha-\beta}{2}} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.7)}
此外，以下两个公式对任意的三角形也是有效的，这两个公式分别以发明者的姓名进行命名：

Newton's formula :Mollweide's formula :b+ca=cosβ−γ2sinα2b−ca=sinβ−γ2cosα2(B.8)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} \text{Newton's formula :} &\quad\frac{b+c}{a} = \frac{\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} \\[2ex] \text{Mollweide's formula :} &\quad \frac{b-c}{a} = \frac{\sin\frac{\beta-\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.8)}
把三角函数的定义（公式B.1）与勾股定理（公式B.6）相结合可以得到以下的三角恒等式：

Trigonometric identity（三角恒等式）:cos2ϕ+sin2ϕ=1(B.6)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Trigonometric identity（三角恒等式）:} &\cos^2\phi+\sin^2\phi=1 \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.6)}
接下来描述三角函数的倍角公式，使用这些公式可以简化计算，并使得公式的实现更加高效。二倍角公式如下所示：

Double angle relations（二倍角公式）:sin2ϕ=2sinϕcosϕ=2tanϕ1+tan2ϕcos2ϕ=cos2ϕ−sin2ϕ=1−2sin2ϕ=2cos2ϕ−1=1−tan2ϕ1+tan2ϕtan2ϕ=2tanϕ1−tan2ϕ(B.10)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Double angle relations（二倍角公式）:}\\[2ex] &\sin2\phi = 2\sin\phi\cos\phi = \frac{2\tan\phi}{1+\tan^2\phi} \\[2ex] &\cos2\phi = \cos^2\phi-\sin^2\phi = 1-2\sin^2\phi = 2\cos^2\phi - 1 = \frac{1-\tan^2\phi}{1+\tan^2\phi} \\[2ex] &\tan2\phi = \frac{2\tan\phi}{1-\tan^2\phi} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.10)}
在些基础上做一些扩展可以得到三倍角公式，如下所示：

Multiple angle relations（多倍角公式）:sin(nϕ)=2sin((n−1)ϕ)cosϕ−sin((n−2)ϕ)cos(nϕ)=2cos((n−1)ϕ)cosϕ−cos((n−2)ϕ)tan(nϕ)=tan((n−1)ϕ)+tanϕ1−tan((n−1)ϕ)tanϕ(B.11)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Multiple angle relations（多倍角公式）:}\\[2ex] &\sin(n\phi) = 2\sin((n-1)\phi)\cos\phi - \sin((n-2)\phi) \\[2ex] &\cos(n\phi) = 2\cos((n-1)\phi)\cos\phi - \cos((n-2)\phi) \\[2ex] &\tan(n\phi) = \frac{\tan((n-1)\phi)+\tan\phi}{1-\tan((n-1)\phi)\tan\phi} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.11)}
公式B.12和B.13列出了三角函数的和差定理，称为和差恒等式。

Angle sum relations（三角和公式）:sin(ϕ+ρ)=sinϕcosρ+cosϕsinρcos(ϕ+ρ)=cosϕcosρ−sinϕsinρtan(ϕ+ρ)=tanϕ+tanρ1−tanϕtanρ(B.12)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Angle sum relations（三角和公式）:}\\[2ex] &\sin(\phi+\rho) = \sin\phi\cos\rho + \cos\phi\sin\rho \\[2ex] &\cos(\phi+\rho) = \cos\phi\cos\rho - \sin\phi\sin\rho \\[2ex] &\tan(\phi+\rho) = \frac{\tan\phi+\tan\rho}{1-\tan\phi\tan\rho} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.12)}

Angle difference relations（三角差公式）:sin(ϕ−ρ)=sinϕcosρ−cosϕsinρcos(ϕ−ρ)=cosϕcosρ+sinϕsinρtan(ϕ−ρ)=tanϕ−tanρ1+tanϕtanρ(B.13)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Angle difference relations（三角差公式）:}\\[2ex] &\sin(\phi-\rho) = \sin\phi\cos\rho - \cos\phi\sin\rho \\[2ex] &\cos(\phi-\rho) = \cos\phi\cos\rho + \sin\phi\sin\rho \\[2ex] &\tan(\phi-\rho) = \frac{\tan\phi-\tan\rho}{1+\tan\phi\tan\rho} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.13)}
接下来是积化和差公式：

Product relations（积化和差公式）:sinϕsinρ=12(cos(ϕ−ρ)−cos(ϕ+ρ))cosϕcosρ=12(cos(ϕ−ρ)+cos(ϕ+ρ))sinϕcosρ=12(sin(ϕ−ρ)+sin(ϕ+ρ))(B.14)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Product relations（积化和差公式）:}\\[2ex] &\sin\phi\sin\rho = \frac{1}{2}(\cos(\phi-\rho)-\cos(\phi+\rho)) \\[2ex] &\cos\phi\cos\rho = \frac{1}{2}(\cos(\phi-\rho)+\cos(\phi+\rho)) \\[2ex] &\sin\phi\cos\rho = \frac{1}{2}(\sin(\phi-\rho)+\sin(\phi+\rho)) \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.14)}
公式B.15和B.16分别为和差化积公式和半角公式。

Function sums and differences（和差化积公式）:sinϕ+sinρ=2sinϕ+ρ2cosϕ−ρ2cosϕ+cosρ=2cosϕ+ρ2cosϕ−ρ2tanϕ+tanρ=sin(ϕ+ρ)cosϕcosρsinϕ−sinρ=2cosϕ+ρ2sinϕ−ρ2cosϕ−cosρ=−2sinϕ+ρ2sinϕ−ρ2tanϕ−tanρ=sin(ϕ−ρ)cosϕcosρ(B.15)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Function sums and differences（和差化积公式）:}\\[2ex] &\sin\phi+\sin\rho = 2\sin\frac{\phi+\rho}{2}\cos\frac{\phi-\rho}{2} \\[2ex] &\cos\phi+\cos\rho = 2\cos\frac{\phi+\rho}{2}\cos\frac{\phi-\rho}{2} \\[2ex] &\tan\phi+\tan\rho = \frac{\sin(\phi+\rho)}{\cos\phi\cos\rho} \\[2ex] &\sin\phi-\sin\rho = 2\cos\frac{\phi+\rho}{2}\sin\frac{\phi-\rho}{2} \\[2ex] &\cos\phi-\cos\rho = -2\sin\frac{\phi+\rho}{2}\sin\frac{\phi-\rho}{2} \\[2ex] &\tan\phi-\tan\rho = \frac{\sin(\phi-\rho)}{\cos\phi\cos\rho} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.15)}

Half-angle relations（半角公式）:sinϕ2=±1−cosϕ2−−−−−−−−√cosϕ2=±1+cosϕ2−−−−−−−−√tanϕ2=±1−cosϕ1+cosϕ−−−−−−−−√=1−cosϕsinϕ=sinϕ1+cosϕ(B.15)

\qquad \bbox[10px,border:2px solid black]{ \begin{aligned} &\text{Half-angle relations（半角公式）:}\\[2ex] &\sin\frac{\phi}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\phi}{2}} \\[2ex] &\cos\frac{\phi}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\phi}{2}} \\[2ex] &\tan\frac{\phi}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\phi}{1+\cos\phi}}=\frac{1-\cos\phi}{\sin\phi}=\frac{\sin\phi}{1+\cos\phi} \end{aligned} } \qquad\qquad\text{(B.15)}

Further Reading and Resources

Graphics Gems一书中的第一章提供了计算机图形学中其他的非常实用的几何定理。在CRC Standard Mathematical Tables and Formulas第31版中包含了该附录中的所有定理公式，以及更多附录中没有提到的部分。

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