本部分从对称矩阵的特征值、特征向量为出发点，并引出正定矩阵

1.对称矩阵

对称矩阵有如下两个性质：
(1)A=AT(1)\textbf{A}\:=\:\textbf{A}^T(1)A=AT
(2)有正交的特征向量
其中第二点说的是，可以挑的出来一组正交特征向量，例如重特征根的情况。

1.1对称矩阵分解

从对称矩阵性质二可知，其特征向量必然线性无关，这是矩阵对角化分解的条件，对于对角化而言，通常我们表达为A=S∧S−1A=S\wedge S^{-1}A=S∧S−1其中S是特征向量组成的矩阵。
对于对称矩阵的对角分解表达为A=Q∧Q−1=Q∧QTA\:=\:Q\:\wedge\:Q^{-1}=Q\wedge Q^TA=Q∧Q−1=Q∧QT其中W的列向量标准正交QT=Q−1Q^T=Q^{-1}QT=Q−1.
其实本身A=QΛQT\mathbf{A}\:=\:\mathbf{Q}\Lambda\mathbf{Q}^{T}A=QΛQT形式就是对称的(QΛQT)T=QΛQT(\mathbb{Q}\Lambda Q^T)^T\:=\:\mathbb{Q}\Lambda Q^T(QΛQT)T=QΛQT。所以一旦确定某个矩阵是征订的，就可以将其分解成上述形式。

1.2对称矩阵的特征值

对称矩阵的特征值都是实数，但是为什么？
Ax=λxAx=\lambda xAx=λx
对该公式取共轭可得：
Ax−=λ−x−A\:\overset{-}{x}=\overset{-}{\lambda}\overset{-}{x}Ax−=λ−x−
然后再转置：
−TxA=−Txλ‾\begin{matrix}_{-^T}\\ x\end{matrix}A=\begin{matrix}_{-^T}\\ x\end{matrix}\overline{\lambda}−TxA=−Txλ
然后再左乘x:
x−TAx=x−Tλ‾x\stackrel{-T}{x}Ax=\stackrel{-T}{x}\overline{\lambda}xx−TAx=x−Tλx
因为本身Ax=λxAx=\lambda xAx=λx
所以左乘x后的式子可以变成：
xˉTAx=λxˉTx\bar{x}^T\mathrm{Ax}=\lambda\bar{x}^T xxˉTAx=λxˉTx继而推出：
λ=λ‾\lambda=\overline{{{\lambda}}}λ=λ因此λ\lambdaλ是实数。那么知道了对称矩阵特征值是实数之后，有没有办法判断是正实数还是负实数？
对称矩阵的性质：
（1）对称矩阵的主元正负个数与特征值的正负个数一致
有几个正的主元，特征值就有几个正的。
（2）对称矩阵的主元乘积等于特征值的乘积（行列式的值）

2.正定矩阵

正定矩阵就是一类对称矩阵，在对称的前提下满足下列条件：
（1）所有特征值都是正实数
（2）所有主元为正
（3）所有子行列式为正
例如：
[5223]\begin{bmatrix}5&2\\ 2&3\end{bmatrix}[5223]
对矩阵消元可以得到主元分别为：5，11/5都是证书，而且这个矩阵是对称矩阵，所以该矩阵正定。
求取其特征值为：λ=4±5\lambda=4\pm\sqrt{5}λ=4±5
特征值的积等于矩阵行列式，所以这个矩阵的行列式也是正的。但反过来不一定成立，并非所有特征值为正的矩阵都是正定矩阵，例如[−100−3]\begin{bmatrix}-1&0\\ 0&-3\end{bmatrix}[−100−3]

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