一、算法要求

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

1. 思路

有n种可选物品1，…，n ，放入容量为c的背包内，使装入的物品具有最大效益。

n ：物品个数
c ：背包容量
p1,p2, …, pn：个体物品效益值
w1,w2, …，wn：个体物品容量

0-1背包问题的解法：物品1,…,n的一种放法(x1, ···,xn的0/1赋值)，使得效益值最大。
假定背包容量不足以装入所有物品：面临选择

优化原理：无论优化解是否放物品1，优化解对物品2,…,n的放法，相对剩余背包容量，也是优化解。

2. 示例

假设：n=5,c=10p=[6,3,5,4,6]w=[2,2,6,5,4]

(1,1,0,0,1)为其优化解，即放物品1，2，5 。物品1占背包容量2，剩下容量为8。

考虑子问题:n=4，c=8，物品为2，3，4，5
(1,0,0,1)，即放物品2和5，是子问题的优化解，背包问题满足优化原理。

二、完整代码

1. 主文件

main.cpp：

#include"Improve1.h"int main(){//初始化控制台Console();//核心算法CoreAlgorithm();// 输出cout << "\nThe maximum total value of the items in the backpack is：" << m[1][capacityPack] << endl;cout << "The selected item situation is：";for (int i = 1; i <= numItem; i++)cout << x[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

2. 头文件

Improve1.h：

#pragma once#ifndef __IMPROVE1__
#define __IMPROVE1__#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;/*n ：物品个数*c ：背包容量*p1,p2, …, pn：个体物品效益值*w1,w2, …，wn：个体物品容量*/int numItem = 5,capacityPack = 10;
int weightItem[] = { 0, 2, 2, 6, 5, 4 },   //从第一序列开始valueItem[] = { 0, 6, 3, 5, 4, 6 };
int* x;     // 物品是否被放入背包
int** m;    // 最大价值// 用户输入
void Console() {cout << "The following are the default items’ quantity, value and weight and backpack capacity: \n"<< "\n#Number of items: " << numItem<< "\n#Number of backpacks: " << capacityPack;cout << "\n#Corresponding weight: ";for (int i = 1; i < numItem + 1; i++)cout << setw(3) << weightItem[i];cout << "\n#Corresponding value: ";for (int i = 1; i < numItem + 1; i++)cout << setw(3) << valueItem[i];x = new int[numItem + 1];m = new int* [numItem + 1];for (int i = 0; i <= numItem; i++) {m[i] = new int[capacityPack + 1];memset(m[i], 0, sizeof(int) * (capacityPack + 1)); // 将表m所有元素设为0}cout << endl;}//核心算法
void CoreAlgorithm(){//Knapsack最大价值表int jMax = min(weightItem[numItem] - 1, capacityPack);     // 避免存在单个重量超出背包容量的物品使数组m越界for (int j = 0; j <= jMax; j++)            // 以下两个for循环是最大价值表m的最后一行m[numItem][j] = 0;for (int j = weightItem[numItem]; j <= capacityPack; j++)m[numItem][j] = valueItem[numItem];for (int i = numItem - 1; i > 1; i--) {  // 以下是表m最后一行以上的部分jMax = min(weightItem[i] - 1, capacityPack);for (int j = 0; j <= jMax; j++)// 背包容量<物品重量，即装不下；将m[i+1][j]（下一行同列）的值赋给m[i][j]m[i][j] = m[i + 1][j];for (int j = weightItem[i]; j <= capacityPack; j++)// 背包容量>=物品重量，即可以装下；//        放：m[i][j]=m[i + 1][j - w[i]] + v[i]//     不放：m[i][j]=m[i + 1][j]// 哪个价值大，就采取哪种方式m[i][j] = max(m[i + 1][j], m[i + 1][j - weightItem[i]] + valueItem[i]);}m[1][capacityPack] = m[2][capacityPack];if (capacityPack >= weightItem[1])m[1][capacityPack] = max(m[1][capacityPack], m[2][capacityPack - weightItem[1]] + valueItem[1]);//Traceback将最优解存入数组int cTemp = capacityPack;    // 临时背包容量for (int i = 1; i < numItem; i++) {if (m[i][cTemp] == m[i + 1][cTemp])x[i] = 0;  // 价值相等，说明没有放入这个物品，0else {x[i] = 1;  // 价值不相等，说明放入了这个物品，1cTemp -= weightItem[i];  // 放入了一个物品，背包剩余容量为原容量-物品重量}}x[numItem] = (m[numItem][capacityPack]) ? 1 : 0;    // 最后一个物品，非0为true放入，0为false不放入
}#endif

3. 效果展示

三、补充

优化值间的递归式：
虽然不知道优化解是否放物品1，但从优化原理能建立优化值间的递归式：
设f(i, y)为以背包容量y，放物品i,…,n,得到的优化效益值，以下递归关系成立:

f(1,c)=max{f(2,c), f(2,c-w1)+p1}  不放物品1、放物品1
先求子问题的优化值(递归)，再从2种可能性中求出最优的。

须对任意给定容量y，任意i,…,n 种物品求解子问题。

举例：

n=3, c=116
w=[100,14,10]
p=[20,18,15]
放进物品1(x1 = 1)，背包容量还剩r=16， [x2,x3]= [1,0] 为子问题的优化解，值为18，总效益值为20+18=38
不放物品1(x1= 0)则对于剩下的两种物品而言，容量限制条件为116，[1,1]为子问题优化解，值为33。
前者效益值为38，后者为33;
所以优化解为[1,1,0], 优化值为max{38，33}=38。

算法复杂度分析：
(1）时间复杂度:算法中有主要的是两层嵌套的for循环，其时间复杂度为O(n×w)。
(2）空间复杂度:由于二维数组c[n][w]，所以空间复杂度为O(n×w)。
算法优化拓展：
首先有一个主循环i=1，2，…，N，每次算出来二维数组c[i][0~w]的所有值。那么，如果只用一个数组 dp[0～w]，能不能保证第i次循环结束后dp[i]中表示的就是我们定义的状态 c[i][j]呢?
c[i]]由c[i-1][i]和c[i-1] [j-w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在递推 c[i][i]时（也即在第i次主循环中递推 dp[j]时）能够得到c[i-1][j]和c[i-1][j-w[i]]的值呢﹖事实上，这要求在每次主循环中以j=w，w-1，…，1，0的顺序倒推dp[j]，这样才能保证递推 dp[j]时dp[j-c[i]]保存的是状态c[i-1][j-w[i]]的值。

伪代码如下:

 for i=1..nfor j=w..0dp [j]=max{dp[j] ,dp [j-w[i]]+v[i]};

其中，dp[j]=max {dp[j]，dp[j-w[i]]}就相当于转移方程c[i][j]-max {c[i-1][j]，c[i-1][j-w[i]]}，
因为这里的dp[j-w[i]] 就相当于原来的c[i-1][j-w[i]]。

文档供本人学习笔记使用，仅供参考。

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