2017年哈工大数理逻辑B期末考试参考答案(1)
一、求公式(¬p→q)→(q→r)的主合取范式和主析取范式。（10分）一、求公式(\neg p \to q )\to (q \to r )的主合取范式和主析取范式。（10分）一、求公式(¬p→q)→(q→r)的主合取范式和主析取范式。（10分）
真值表如下：真值表如下：真值表如下：
| p | q | r | ¬p\neg p¬p | ¬p→q\neg p \to q¬p→q | q→rq\to rq→r | (¬q→q)→(q→r)(\neg q\to q)\to (q\to r)(¬q→q)→(q→r) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
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| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
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| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
主合取范式为(p∨¬q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)主合取范式为(p \lor \neg q \lor r)\land (\neg p \lor \neg q \lor r )主合取范式为(p∨¬q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)
主析取范式为(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)主析取范式为(\neg p \land \neg q \land \neg r )\lor (\neg p \land \neg q \land r )\lor (\neg p \land q \land r )\lor (p \land \neg q \land \neg r )\lor (p \land \neg q \land r)\lor (p \land q \land r)主析取范式为(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)
二、用′↓′等价表示公式(p→q)→¬r。（10分）二、用'\downarrow'等价表示公式(p \to q)\to \neg r。（10分）二、用′↓′等价表示公式(p→q)→¬r。（10分）
(p→q)→¬r⟺¬(¬p∨q)∨¬r⟺(¬p↓q)∨¬r⟺((¬p↓q)↓¬r)↓((¬p↓q)↓¬r)⟺(((p↓p)↓q)↓(r↓r))↓(((p↓p)↓q)↓(r↓r))\begin{aligned} (p \to q)\to \neg r &\iff \neg(\neg p\lor q)\lor \neg r\\ &\iff (\neg p \downarrow q)\lor \neg r\\ &\iff ((\neg p\downarrow q)\downarrow \neg r)\downarrow ((\neg p\downarrow q)\downarrow \neg r) \\ &\iff (((p \downarrow p)\downarrow q)\downarrow (r\downarrow r))\downarrow (((p \downarrow p)\downarrow q)\downarrow (r\downarrow r)) \end{aligned} (p→q)→¬r⟺¬(¬p∨q)∨¬r⟺(¬p↓q)∨¬r⟺((¬p↓q)↓¬r)↓((¬p↓q)↓¬r)⟺(((p↓p)↓q)↓(r↓r))↓(((p↓p)↓q)↓(r↓r))
三、设A,B为FC中任意公式，举例说明A→B⊢FC∀vA→∀vB不一定成立。（5分）三、设A,B为FC中任意公式，举例说明A\to B\vdash_{FC}\forall vA\to \forall vB不一定成立。（5分）三、设A,B为FC中任意公式，举例说明A→B⊢FC∀vA→∀vB不一定成立。（5分）
根据演绎定理，原公式等价于⊢FC(A→B)→(∀vA→∀vB)根据演绎定理，原公式等价于\vdash_{FC}(A\to B)\to (\forall vA\to \forall vB)根据演绎定理，原公式等价于⊢FC(A→B)→(∀vA→∀vB)
构造如下解释构造如下解释构造如下解释
A,B中变元均为v,论域D={0,1},Aˉ,Bˉ:D→{T,F}A,B中变元均为v,论域D=\{0,1\},\bar{A},\bar{B}:D\to \{T,F\}A,B中变元均为v,论域D={0,1},Aˉ,Bˉ:D→{T,F}
A(0)=T,A(1)=T,B(0)=T,B(1)=F,vˉ=0A(0) = T,A(1) = T,B(0) = T,B(1) = F,\bar{v} = 0A(0)=T,A(1)=T,B(0)=T,B(1)=F,vˉ=0
将此解释带入得将此解释带入得将此解释带入得
(Aˉ(vˉ)→Bˉ(vˉ))→(∀vAˉ→∀vBˉ)=(T→T)→(T→F)=T→F=F\begin{aligned} (\bar{A}(\bar{v})\to \bar{B}(\bar{v}))\to(\forall v\bar{A}\to \forall v\bar{B})&=(T\to T)\to (T\to F)\\ &=T\to F\\ &=F \end{aligned} (Aˉ(vˉ)→Bˉ(vˉ))→(∀vAˉ→∀vBˉ)=(T→T)→(T→F)=T→F=F
由此可得，在此解释下，该公式不成立。由此可得，在此解释下，该公式不成立。由此可得，在此解释下，该公式不成立。
四、分别用′↑′和′↓′等价表示公式¬(p∧¬q)∧(q∧r)四、分别用'\uparrow'和'\downarrow'等价表示公式\neg(p\land \neg q)\land (q \land r)四、分别用′↑′和′↓′等价表示公式¬(p∧¬q)∧(q∧r)
首先将公式化简首先将公式化简首先将公式化简
¬(p∧¬q)∧(q∧r)⟺(¬p∨q)∧(q∧r)⟺(¬p∧q∧r)∨(q∧r)⟺q∧r\begin{aligned} \neg(p\land \neg q)\land (q \land r)&\iff (\neg p \lor q)\land (q \land r)\\ &\iff (\neg p\land q \land r)\lor (q \land r)\\ &\iff q\land r \end{aligned} ¬(p∧¬q)∧(q∧r)⟺(¬p∨q)∧(q∧r)⟺(¬p∧q∧r)∨(q∧r)⟺q∧r
用′↑表示′用'\uparrow 表示'用′↑表示′
¬(p∧¬q)∧(q∧r)⟺q∧r⟺(q↑r)↑(q↑r)\begin{aligned} \neg(p\land \neg q)\land (q \land r)&\iff q\land r\\ &\iff (q \uparrow r)\uparrow (q \uparrow r) \end{aligned} ¬(p∧¬q)∧(q∧r)⟺q∧r⟺(q↑r)↑(q↑r)
用‘↓’表示用‘\downarrow’表示用‘↓’表示
¬(p∧¬q)∧(q∧r)⟺q∧r⟺¬(¬q∨¬r)⟺¬q↓¬r⟺(q↓q)↓(r↓r)\begin{aligned} \neg(p\land \neg q)\land (q \land r)&\iff q\land r\\ &\iff \neg(\neg q\lor \neg r)\\ &\iff \neg q\downarrow \neg r\\ &\iff (q\downarrow q)\downarrow (r \downarrow r) \end{aligned} ¬(p∧¬q)∧(q∧r)⟺q∧r⟺¬(¬q∨¬r)⟺¬q↓¬r⟺(q↓q)↓(r↓r)
五、在命题逻辑演算系统PC中证明：（20分）五、在命题逻辑演算系统PC中证明：（20分）五、在命题逻辑演算系统PC中证明：（20分）
(1)⊢¬C→(¬B→¬(¬B→C))(1)\vdash \neg C \to (\neg B \to \neg(\neg B\to C))(1)⊢¬C→(¬B→¬(¬B→C))
1.(¬B→C)→(¬C→B)逆否1.(\neg B\to C)\to (\neg C\to B)\quad 逆否1.(¬B→C)→(¬C→B)逆否
2.((¬B→C)→(¬C→B))→(¬C→((¬B→C)→B))前件互换定理2.((\neg B\to C)\to (\neg C\to B))\to(\neg C\to ((\neg B\to C)\to B))\quad 前件互换定理2.((¬B→C)→(¬C→B))→(¬C→((¬B→C)→B))前件互换定理
3.¬C→((¬B→C)→B)1,2rmp3.\neg C \to ((\neg B\to C)\to B)\quad 1,2r_{mp}3.¬C→((¬B→C)→B)1,2rmp
4.((¬B→C)→B)→(¬B→¬(¬B→C))逆否4.((\neg B\to C)\to B)\to (\neg B\to \neg (\neg B\to C))\quad 逆否4.((¬B→C)→B)→(¬B→¬(¬B→C))逆否
5.¬C→(¬B→¬(¬B→C))3,4三段论5.\neg C \to (\neg B \to \neg(\neg B\to C))\quad 3,4三段论5.¬C→(¬B→¬(¬B→C))3,4三段论
(2)⊢((A→(B→C))→A)→A(2)\vdash ((A\to (B\to C))\to A)\to A(2)⊢((A→(B→C))→A)→A
1.¬A→(A→(B→C))定理3.1.31.\neg A\to (A\to(B\to C))\quad 定理3.1.31.¬A→(A→(B→C))定理3.1.3
2.¬(A→(B→C))→A1逆否2.\neg(A\to (B\to C))\to A\quad 1逆否2.¬(A→(B→C))→A1逆否
3.A→A定理3.1.13.A\to A\quad 定理3.1.13.A→A定理3.1.1
4.(¬(A→(B→C))→A)→((A→A)→(((A→(B→C))→A)→A))定理3.1.144.(\neg(A\to (B\to C))\to A)\to((A\to A)\to(((A\to (B\to C))\to A)\to A))\quad 定理3.1.144.(¬(A→(B→C))→A)→((A→A)→(((A→(B→C))→A)→A))定理3.1.14
5.((A→(B→C))→A)→A2,3,4rmp5.((A\to (B\to C))\to A)\to A\quad 2,3,4r_{mp}5.((A→(B→C))→A)→A2,3,4rmp
(3)⊢(A→(B→¬C))→(C→(A→¬B))(3)\vdash (A\to (B\to \neg C))\to (C\to (A\to \neg B))(3)⊢(A→(B→¬C))→(C→(A→¬B))
1.¬A→(A→(C→¬B))定理3.1.31.\neg A\to (A\to (C\to \neg B))\quad 定理3.1.31.¬A→(A→(C→¬B))定理3.1.3
2.(A→(C→¬B))→(C→(A→¬B))前件互换定理2.(A\to(C\to \neg B))\to(C\to (A\to \neg B))\quad 前件互换定理2.(A→(C→¬B))→(C→(A→¬B))前件互换定理
3.¬A→(C→(A→¬B))1,2三段论3.\neg A\to (C\to (A\to \neg B))\quad 1,2三段论3.¬A→(C→(A→¬B))1,2三段论
4.(B→¬C)→(C→¬B)逆否4.(B\to \neg C)\to (C \to \neg B)\quad 逆否4.(B→¬C)→(C→¬B)逆否
5.(C→¬B)→(A→(C→¬B))A15.(C\to \neg B)\to (A\to (C\to \neg B))\quad A15.(C→¬B)→(A→(C→¬B))A1
6.(B→¬C)→(A→(C→¬B))4,5三段论6.(B\to \neg C)\to (A\to (C\to \neg B))\quad 4,5三段论6.(B→¬C)→(A→(C→¬B))4,5三段论
7.(B→¬C)→(C→(A→¬B))2,6三段论7.(B\to \neg C)\to (C\to (A\to \neg B))\quad 2,6三段论7.(B→¬C)→(C→(A→¬B))2,6三段论
8.(¬A→(C→(A→¬B)))→(((B→¬C)→(C→(A→¬B)))→((A→(B→¬C))→(C→(A→¬B))))定理3.1.148.(\neg A\to (C\to (A\to \neg B)))\to (((B\to \neg C)\to (C\to (A\to \neg B)))\to ((A\to (B\to \neg C))\to (C\to (A\to \neg B))))\quad 定理3.1.148.(¬A→(C→(A→¬B)))→(((B→¬C)→(C→(A→¬B)))→((A→(B→¬C))→(C→(A→¬B))))定理3.1.14
9.(A→(B→¬C))→(C→(A→¬B))3,7,8rmp9.(A\to (B\to \neg C))\to (C\to (A\to \neg B))\quad 3,7,8r_{mp}9.(A→(B→¬C))→(C→(A→¬B))3,7,8rmp
(4)((¬A→B)→C)→D,¬D→¬B,¬A⊢D(4)((\neg A\to B)\to C)\to D,\neg D\to \neg B,\neg A\vdash D(4)((¬A→B)→C)→D,¬D→¬B,¬A⊢D
1.(B→D)→((((¬A→B)→C)→D)→((¬B→((¬A→B)→C))→D))定理3.1.141.(B\to D)\to((((\neg A\to B)\to C)\to D)\to((\neg B\to ((\neg A\to B)\to C))\to D))\quad 定理3.1.141.(B→D)→((((¬A→B)→C)→D)→((¬B→((¬A→B)→C))→D))定理3.1.14
2.(¬D→¬B)→(B→D)A32.(\neg D\to \neg B)\to (B\to D)\quad A32.(¬D→¬B)→(B→D)A3
3.¬D→¬B前提3.\neg D\to \neg B\quad 前提3.¬D→¬B前提
4.B→D2,3rmp4.B\to D\quad 2,3r_{mp}4.B→D2,3rmp
5.((¬A→B)→C)→D前提5.((\neg A\to B)\to C)\to D\quad 前提5.((¬A→B)→C)→D前提
6.¬A→(A→(B→¬C))定理3.1.36.\neg A\to(A\to (B\to \neg C))\quad 定理3.1.36.¬A→(A→(B→¬C))定理3.1.3
7.¬A前提7.\neg A\quad 前提7.¬A前提
8.A→(B→¬C)6,7rmp8.A\to (B\to \neg C)\quad 6,7r_{mp}8.A→(B→¬C)6,7rmp
9.B→(¬B→C)定理3.1.39.B\to(\neg B\to C)\quad 定理3.1.39.B→(¬B→C)定理3.1.3
10.(A→(B→¬C))→((B→(¬B→C))→((¬A→B)→(¬B→C)))定理3.1.1410.(A\to (B\to \neg C))\to ((B\to(\neg B\to C))\to ((\neg A\to B)\to (\neg B\to C)))\quad 定理3.1.1410.(A→(B→¬C))→((B→(¬B→C))→((¬A→B)→(¬B→C)))定理3.1.14
11.(¬A→B)→(¬B→C)8,9,10rmp11.(\neg A\to B)\to (\neg B\to C)\quad 8,9,10r_{mp}11.(¬A→B)→(¬B→C)8,9,10rmp
12.((¬A→B)→(¬B→C))→(¬B→((¬A→B)→C))前件互换定理12.((\neg A\to B)\to (\neg B\to C))\to(\neg B\to ((\neg A\to B)\to C))\quad 前件互换定理12.((¬A→B)→(¬B→C))→(¬B→((¬A→B)→C))前件互换定理
13.¬B→((¬A→B)→C)11,12rmp13.\neg B\to ((\neg A\to B)\to C)\quad 11,12r_{mp}13.¬B→((¬A→B)→C)11,12rmp
14.D1,4,5,13rmp14.D\quad 1,4,5,13r_{mp}14.D1,4,5,13rmp
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