2015年哈工大数理逻辑A期末考试参考答案(2)

五、在命题演算系统PC中证明：（20分）五、在命题演算系统 PC 中证明：（20 分）五、在命题演算系统PC中证明：（20分）
(1)⊢((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))(1)⊢ ((A → B) → (A → C)) → (A → (B → C))(1)⊢((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))
1.B→(A→B)A11.B\to (A\to B)\quad A11.B→(A→B)A1
2.¬(A→B)→¬B1逆否2.\neg (A\to B)\to \neg B\quad 1逆否2.¬(A→B)→¬B1逆否
3.¬B→(B→(A→C))定理3.1.33.\neg B\to (B\to (A\to C))\quad 定理3.1.33.¬B→(B→(A→C))定理3.1.3
4.(B→(A→C))→(A→(B→C))前件互换定理4.(B\to (A\to C))\to (A\to (B\to C))\quad 前件互换定理4.(B→(A→C))→(A→(B→C))前件互换定理
5.¬(A→B)→(B→(A→C))2,3,4传递5.\neg (A\to B)\to (B\to (A\to C))\quad 2,3,4传递5.¬(A→B)→(B→(A→C))2,3,4传递
6.C→(B→C)A16.C\to (B\to C)\quad A16.C→(B→C)A1
7.(A→C)→(A→(B→C))6,加前件定理rmp7.(A\to C)\to (A\to (B\to C))\quad 6,加前件定理r_{mp}7.(A→C)→(A→(B→C))6,加前件定理rmp
8.(¬(A→B)→(B→(A→C)))→(((A→C)→(A→(B→C)))→(((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))))定理3.1.148.(\neg (A\to B)\to (B\to (A\to C)))\to (((A\to C)\to (A\to (B\to C)))\to (((A → B) → (A → C)) → (A → (B → C))))\quad 定理3.1.148.(¬(A→B)→(B→(A→C)))→(((A→C)→(A→(B→C)))→(((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))))定理3.1.14
9.((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))5,6,8rmp9.((A → B) → (A → C)) → (A → (B → C))\quad 5,6,8r_{mp}9.((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))5,6,8rmp
(2)⊢B→((B→C)→(¬A→C))(2)⊢ B → ((B → C) → (¬A → C))(2)⊢B→((B→C)→(¬A→C))
1.C→(¬A→C)A11.C\to (\neg A\to C)\quad A11.C→(¬A→C)A1
2.(B→C)→(B→(¬A→C))1,加前件定理rmp2.(B\to C)\to (B\to (\neg A\to C))\quad 1,加前件定理r_{mp}2.(B→C)→(B→(¬A→C))1,加前件定理rmp
3.B→((B→C)→(¬A→C))2,前件互换定理rmp3.B\to ((B\to C)\to (\neg A\to C))\quad 2,前件互换定理r_{mp}3.B→((B→C)→(¬A→C))2,前件互换定理rmp
(3)⊢(A→B)→(¬B→(A→¬A))(3)⊢ (A → B) → (¬B → (A → ¬A))(3)⊢(A→B)→(¬B→(A→¬A))
1.¬B→(B→¬A)定理3.1.31.\neg B\to (B\to \neg A)\quad 定理3.1.31.¬B→(B→¬A)定理3.1.3
2.(B→¬A)→((A→B)→(A→¬A))加前件定理2.(B\to \neg A)\to ((A\to B)\to (A\to \neg A))\quad 加前件定理2.(B→¬A)→((A→B)→(A→¬A))加前件定理
3.¬B→((A→B)→(A→¬A))1,2三段论3.\neg B\to ((A\to B)\to (A\to \neg A))\quad 1,2三段论3.¬B→((A→B)→(A→¬A))1,2三段论
4.(A→B)→(¬B→(A→¬A))3,前件互换定理rmp4.(A\to B)\to (\neg B\to (A\to \neg A))\quad 3,前件互换定理r_{mp}4.(A→B)→(¬B→(A→¬A))3,前件互换定理rmp
(4)¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢B(4)¬((A → B) → ¬(B → A)),A ⊢ B(4)¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢B
1.¬(A→B)→((A→B)→¬(B→A))定理3.1.31.\neg (A\to B)\to ((A\to B)\to \neg (B\to A))\quad 定理3.1.31.¬(A→B)→((A→B)→¬(B→A))定理3.1.3
2.¬((A→B)→¬(B→A))→(A→B)1逆否2.\neg ((A\to B)\to \neg (B\to A))\to (A\to B)\quad 1逆否2.¬((A→B)→¬(B→A))→(A→B)1逆否
3.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢¬((A→B)→¬(B→A))前提3.¬((A → B) → ¬(B → A)),A ⊢ ¬((A → B) → ¬(B → A))\quad 前提3.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢¬((A→B)→¬(B→A))前提
4.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢A→B2,3rmp4.¬((A → B) → ¬(B → A)),A ⊢A\to B\quad 2,3r_{mp}4.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢A→B2,3rmp
5.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢A前提5.¬((A → B) → ¬(B → A)),A ⊢ A\quad 前提5.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢A前提
6.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢B4,5rmp6.¬((A → B) → ¬(B → A)),A ⊢ B\quad 4,5r_{mp}6.¬((A→B)→¬(B→A)),A⊢B4,5rmp
六、在ND中证明：（10分）六、在 ND 中证明：（10 分）六、在ND中证明：（10分）
(1)⊢((A→B)→C)→(B→C)(1)⊢ ((A → B) → C) → (B → C)(1)⊢((A→B)→C)→(B→C)
只需证(A→B)→C,B⊢C演绎定理只需证(A\to B)\to C,B\vdash C\quad 演绎定理只需证(A→B)→C,B⊢C演绎定理
1.(A→B)→C,B;A⊢B公理1.(A\to B)\to C,B;A\vdash B\quad 公理1.(A→B)→C,B;A⊢B公理
2.(A→B)→C,B⊢A→B1→引入2.(A\to B)\to C,B\vdash A\to B\quad 1\to引入2.(A→B)→C,B⊢A→B1→引入
3.(A→B)→C,B⊢(A→B)→C公理3.(A\to B)\to C,B\vdash (A\to B)\to C\quad 公理3.(A→B)→C,B⊢(A→B)→C公理
4.(A→B)→C,B⊢C2,3→消除4.(A\to B)\to C,B\vdash C\quad 2,3\to 消除4.(A→B)→C,B⊢C2,3→消除
(2)⊢(B→¬C)→(¬A→(B→¬(¬A→C)))(2)⊢ (B → ¬C) → (¬A → (B → ¬(¬A → C)))(2)⊢(B→¬C)→(¬A→(B→¬(¬A→C)))
只需证B→¬C,¬A,B⊢¬(¬A→C)演绎定理只需证B\to \neg C,\neg A,B\vdash \neg (\neg A\to C)\quad 演绎定理只需证B→¬C,¬A,B⊢¬(¬A→C)演绎定理
1.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢¬A→C公理1.B\to \neg C,\neg A,B;\neg A\to C\vdash \neg A\to C\quad 公理1.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢¬A→C公理
2.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢¬A公理2.B\to \neg C,\neg A,B;\neg A\to C\vdash \neg A\quad 公理2.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢¬A公理
3.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢C1,2→消除3.B\to \neg C,\neg A,B;\neg A\to C\vdash C\quad 1,2\to 消除3.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢C1,2→消除
4.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢B→¬C公理4.B\to \neg C,\neg A,B;\neg A\to C\vdash B\to \neg C\quad 公理4.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢B→¬C公理
5.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢B公理5.B\to \neg C,\neg A,B;\neg A\to C\vdash B\quad 公理5.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢B公理
6.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢¬C4,5→消除6.B\to \neg C,\neg A,B;\neg A\to C\vdash \neg C\quad 4,5\to 消除6.B→¬C,¬A,B;¬A→C⊢¬C4,5→消除
7.B→¬C,¬A,B;⊢¬(¬A→C)3,6¬引入7.B\to \neg C,\neg A,B;\vdash \neg (\neg A\to C)\quad 3,6\neg 引入7.B→¬C,¬A,B;⊢¬(¬A→C)3,6¬引入
七、在FC中证明：（20分七、在 FC 中证明：（20 分七、在FC中证明：（20分
(1)⊢(∃xA→∀x¬B)→∀x(A→¬B)(1)⊢ (∃xA → ∀x¬B) → ∀x(A → ¬B)(1)⊢(∃xA→∀x¬B)→∀x(A→¬B)
根据全程推广定理及演绎定理,只需证∃xA→∀x¬B⊢A→¬B根据全程推广定理及演绎定理,只需证\exists xA\to \forall x\neg B\vdash A\to \neg B根据全程推广定理及演绎定理,只需证∃xA→∀x¬B⊢A→¬B
1.∃xA→∀x¬B前提1.\exists xA\to \forall x\neg B\quad 前提1.∃xA→∀x¬B前提
2.∀x¬B→¬B定理5.1.12.\forall x\neg B\to \neg B\quad 定理5.1.12.∀x¬B→¬B定理5.1.1
3.∃A→¬B1,2三段论3.\exists A\to \neg B\quad 1,2三段论3.∃A→¬B1,2三段论
4.A→∃xA定理5.2.24.A\to \exists xA\quad 定理5.2.24.A→∃xA定理5.2.2
5.A→¬B3,4三段论5.A\to \neg B\quad 3,4三段论5.A→¬B3,4三段论
6.∀x(A→¬B)5全称推广6.\forall x(A\to \neg B)\quad 5全称推广6.∀x(A→¬B)5全称推广
(2)∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x))⊢∃x¬(Q(x)→¬R(x))(2)∀x(P(x) → Q(x)),¬∀x(P(x) → ¬R(x)) ⊢ ∃x¬(Q(x) → ¬R(x))(2)∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x))⊢∃x¬(Q(x)→¬R(x))
方法1：方法1：方法1：
因为∃x¬(Q(x)→¬R(x))⟺¬∀x(Q(x)→¬R(x)),使用反证法因为\exists x\neg (Q(x)\to \neg R(x))\iff \neg \forall x(Q(x)\to \neg R(x)),使用反证法因为∃x¬(Q(x)→¬R(x))⟺¬∀x(Q(x)→¬R(x)),使用反证法
1.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢∀x(Q(x)→¬R(x))前提1.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash \forall x(Q(x)\to \neg R(x))\quad 前提1.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢∀x(Q(x)→¬R(x))前提
2.∀x(Q(x)→¬R(x))→(Q(x)→¬R(x))定理5.1.12.\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\to (Q(x)\to \neg R(x))\quad 定理5.1.12.∀x(Q(x)→¬R(x))→(Q(x)→¬R(x))定理5.1.1
3.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢Q(x)→¬R(x)1,2rmp3.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash Q(x)\to \neg R(x)\quad 1,2r_{mp}3.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢Q(x)→¬R(x)1,2rmp
4.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢∀x(P(x)→Q(x))前提4.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash \forall x(P(x)\to Q(x))\quad 前提4.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢∀x(P(x)→Q(x))前提
5.∀x(P(x)→Q(x))→(P(x)→Q(x))定理5.1.15.\forall x(P(x)\to Q(x))\to (P(x)\to Q(x))\quad 定理5.1.15.∀x(P(x)→Q(x))→(P(x)→Q(x))定理5.1.1
6.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢P(x)→Q(x)5,6rmp6.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash P(x)\to Q(x)\quad 5,6r_{mp}6.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢P(x)→Q(x)5,6rmp
7.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢P(x)→¬R(x)3,6三段论7.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash P(x)\to \neg R(x)\quad 3,6三段论7.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢P(x)→¬R(x)3,6三段论
8.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢∀x(P(x)→¬R(x))7定理5.2.58.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash \forall x(P(x)\to \neg R(x))\quad 7定理5.2.58.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢∀x(P(x)→¬R(x))7定理5.2.5
9.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢¬∀x(P(x)→Q(x))前提9.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x));\forall x(Q(x)\to \neg R(x))\vdash \neg \forall x (P(x)\to Q(x))\quad 前提9.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x));∀x(Q(x)→¬R(x))⊢¬∀x(P(x)→Q(x))前提
10.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x))⊢¬∀x(Q(x)→¬R(x))8,9反证法10.\forall x(P(x)\to Q(x)),\neg \forall x(P(x)\to \neg R(x))\vdash \neg \forall x(Q(x)\to \neg R(x))\quad 8,9反证法10.∀x(P(x)→Q(x)),¬∀x(P(x)→¬R(x))⊢¬∀x(Q(x)→¬R(x))8,9反证法
八、“大学里的学生不是本科生就是研究生，有的学生是高材生，John不是研究生，但是高材生，则如果John是大学里的学生必是本科生。”八、“大学里的学生不是本科生就是研究生，有的学生是高材生，John不是研究生，但是高材生，则如果John是大学里的学生必是本科生。”八、“大学里的学生不是本科生就是研究生，有的学生是高材生，John不是研究生，但是高材生，则如果John是大学里的学生必是本科生。”
请将上述逻辑推理用谓词公式表示出来，并在FC中证明其推理的正确性。（15分）请将上述逻辑推理用谓词公式表示出来，并在FC中证明其推理的正确性。（15分）请将上述逻辑推理用谓词公式表示出来，并在FC中证明其推理的正确性。（15分）
令：谓词S(x):x是大学里的学生令：谓词S(x):x是大学里的学生令：谓词S(x):x是大学里的学生
谓词B(x):x是本科生谓词B(x):x是本科生谓词B(x):x是本科生
谓词G(x):x是研究生谓词G(x):x是研究生谓词G(x):x是研究生
谓词P(x):x是高材生谓词P(x):x是高材生谓词P(x):x是高材生
则上述语句形式化为：则上述语句形式化为：则上述语句形式化为：
(1)∀x(S(x)→B(x)⊕G(x))(1)\forall x(S(x)\to B(x)\oplus G(x))(1)∀x(S(x)→B(x)⊕G(x))
(2)∃xP(x)(2)\exists xP(x)(2)∃xP(x)
(3)¬G(John)∧P(John)(3)\neg G(John)\land P(John)(3)¬G(John)∧P(John)
(4)S(John)→B(John)(4)S(John)\to B(John)(4)S(John)→B(John)
令公式集Γ={∀x(S(x)→B(x)⊕G(x)),∃xP(x),¬G(John)∧P(John),S(John)}令公式集\Gamma = \{ \forall x(S(x)\to B(x)\oplus G(x)),\exists xP(x),\neg G(John)\land P(John),S(John) \}令公式集Γ={∀x(S(x)→B(x)⊕G(x)),∃xP(x),¬G(John)∧P(John),S(John)}
只需证Γ⊢B(John)演绎定理只需证\Gamma\vdash B(John)\quad 演绎定理只需证Γ⊢B(John)演绎定理
使用反证法使用反证法使用反证法
1.Γ;¬B(John)⊢¬G(John)∧P(John)前提1.\Gamma;\neg B(John)\vdash \neg G(John)\land P(John)\quad 前提1.Γ;¬B(John)⊢¬G(John)∧P(John)前提
2.¬G(John)∧P(John)→¬G(John)定理3.1.162.\neg G(John)\land P(John)\to \neg G(John)\quad 定理3.1.162.¬G(John)∧P(John)→¬G(John)定理3.1.16
3.Γ;¬B(John)⊢¬G(John)1,2rmp3.\Gamma;\neg B(John)\vdash \neg G(John)\quad 1,2r_{mp}3.Γ;¬B(John)⊢¬G(John)1,2rmp
4.Γ;¬B(John)⊢¬B(John)→¬G(John)定理3.1.24.\Gamma;\neg B(John)\vdash \neg B(John)\to \neg G(John)\quad 定理3.1.24.Γ;¬B(John)⊢¬B(John)→¬G(John)定理3.1.2
5.Γ;¬B(John)⊢G(John)→B(John)4逆否5.\Gamma;\neg B(John)\vdash G(John)\to B(John)\quad 4逆否5.Γ;¬B(John)⊢G(John)→B(John)4逆否
6.Γ;¬B(John)⊢¬B(John)前提6.\Gamma;\neg B(John)\vdash \neg B(John)\quad 前提6.Γ;¬B(John)⊢¬B(John)前提
7.Γ;¬B(John)⊢¬G(John)→¬B(John)定理3.1.27.\Gamma;\neg B(John)\vdash \neg G(John)\to \neg B(John)\quad 定理3.1.27.Γ;¬B(John)⊢¬G(John)→¬B(John)定理3.1.2
8.Γ;¬B(John)⊢B(John)→G(John)7逆否8.\Gamma;\neg B(John)\vdash B(John)\to G(John)\quad 7逆否8.Γ;¬B(John)⊢B(John)→G(John)7逆否
9.Γ;¬B(John)⊢B(John)↔G(John)由5,8可得9.\Gamma;\neg B(John)\vdash B(John)\leftrightarrow G(John)\quad 由5,8可得9.Γ;¬B(John)⊢B(John)↔G(John)由5,8可得
10.Γ;¬B(John)⊢∀x(S(x)→B(x)⊕G(x))前提10.\Gamma;\neg B(John)\vdash \forall x(S(x)\to B(x)\oplus G(x))\quad 前提10.Γ;¬B(John)⊢∀x(S(x)→B(x)⊕G(x))前提
11.∀x(S(x)→B(x)⊕G(x))→(S(John)→B(John)⊕G(John))定理5.2.111.\forall x(S(x)\to B(x)\oplus G(x))\to (S(John)\to B(John)\oplus G(John))\quad 定理5.2.111.∀x(S(x)→B(x)⊕G(x))→(S(John)→B(John)⊕G(John))定理5.2.1
12.Γ;¬B(John)⊢S(John)→B(John)⊕G(John)12.\Gamma;\neg B(John)\vdash S(John)\to B(John)\oplus G(John)12.Γ;¬B(John)⊢S(John)→B(John)⊕G(John)
13.Γ;¬B(John)⊢S(John)前提13.\Gamma;\neg B(John)\vdash S(John)\quad 前提13.Γ;¬B(John)⊢S(John)前提
14.Γ;¬B(John)⊢B(John)⊕G(John)12,13rmp14.\Gamma;\neg B(John)\vdash B(John)\oplus G(John)\quad 12,13r_{mp}14.Γ;¬B(John)⊢B(John)⊕G(John)12,13rmp
15.Γ;¬B(John)⊢¬(B(John)↔G(John))14异或同或转换15.\Gamma;\neg B(John)\vdash \neg (B(John)\leftrightarrow G(John))\quad 14异或同或转换15.Γ;¬B(John)⊢¬(B(John)↔G(John))14异或同或转换
16.Γ⊢B(John)9,15反证法16.\Gamma\vdash B(John)\quad 9,15反证法16.Γ⊢B(John)9,15反证法

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