函数一致连续性的感性认识

2024-05-13 14:00:21

函数一致连续性的定义

关于函数一致连续性，准确的定义如下：

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在着正数 $\delta$ ，使得对于区间 $I$ 上的任意两点 $\ x_1$ ， $\ x_2$ ，当 $\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert<\delta$ 时，就有 $\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert<\varepsilon$ ，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一致连续的。

因为 $\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert =\Delta x$ , $\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert = \Delta y$ ，所以函数一致连续性定义实际上描述的是一种函数曲线：无论 $\Delta y$ 多么小，总是能找到一个正数 $\delta$ ，使得在整个函数曲线中，当 $\Delta x$ < $\delta$ 时， $\Delta y<\varepsilon$ 。

函数一致连续性的感性认识

如果无法理解函数的一致连续性，很有可能是 $\delta$ 、 $\varepsilon$ 两个数的关系没有理清。

从定义出发。给定任意正数 $\varepsilon$ ，即 $max(\Delta y)$ 已经确定。无论 $\Delta y$ 的值多么小，总能找到对应的 $\Delta x$ 且 $\Delta x$ 的值确定。如果函数 $f(x)$ 的区间 $I$ 为闭区间，就可以确定整个函数曲线上任意两点 $\Delta y<\varepsilon$ 对应的 $\Delta x$ 的值，继而可以确定 $max(\Delta x)$ 。显然大于 $max(\Delta x)$ 的 $\delta$ 肯定存在。也就是说，闭区间上的连续函数一定有一致连续性。

而区间 $I$ 为开区间的时候，很容易找到函数无法满足函数一致性的要求的例子：

函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 。指定 $\varepsilon$ ，无论 $\varepsilon$ 多么小，总能在函数曲线上找到 $x_1$ , $x_2$ ，使得 $\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert$ 对应的 $\lvert \ y_1 - \ y_2\rvert<\varepsilon$ 。但是考虑 $x\to\infty$ ,引起 $y$ 变化 $\varepsilon$ 的 $\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert$ 的值会越来越大，所以找不到 $max(\Delta x)$ ,自然也就找不到大于 $max(\Delta x)$ 的 $\delta$ 。所以 $f(x)=\frac{1}{x}$ 没有一致连续性。

ref:

函数一致连续与函数连续有什么区别，到底一致连续的“一致”是什么意思？

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