我的数论-素数部分博客共5part：
基本概念、性质、猜想、定理
素数筛法（埃式筛、欧拉筛、区间筛）
素数判断法（朴素法、模6法、Rabin-Miller及改进）
数的分解（Pollard-rho）
梅森素数（Lucas_Lehmer判定法）

文章目录

基本概念与性质
定理与猜想
- 猜想
- 素数定理
- 算术基本定理
- 威尔逊定理
- 费马小定理
- 欧拉定理

基本概念与性质

>1>1>1，正整数，除了1和本身不能被其他数整除
d>1,d∈N∗,p是素数，d∣p⇒d=pd>1,d\in N^*,p是素数，d|p\Rightarrow d=pd>1,d∈N∗,p是素数，d∣p⇒d=p
ppp 是素数，p∣ab⇒p∣aorp∣bp|ab\Rightarrow p|a\quad or\quad p|bp∣ab⇒p∣aorp∣b
素数无穷多
每个大于1的正整数都有一个素因子
nnn 是合数，则必有≤n\leq \sqrt n≤n 的素因子

定理与猜想

猜想

伯特兰猜想：任意正整数nnn （大于1），存在素数ppp 有n<p<2nn<p<2nn<p<2n
孪生素数猜想：存在无穷多的ppp 和p+2p+2p+2 的素数对
哥德巴赫猜想：每个大于222 的正偶数可以写成两个素数之和

素数定理

定义π(x)\pi(x)π(x) 表示小于xxx 的素数个数，π(x)=xln⁡x\pi(x)=\frac{x}{\ln x}π(x)=lnxx
推论：定义pnp_npn 为第nnn 个素数，pn∼nln⁡np_n \sim n\ln npn∼nlnn

算术基本定理

定理：每个大于111 的正整数nnn 都可以被唯一的写成素数的乘积n=p1α1p2α2⋯pkαk,p1<p2<⋯<pkn={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_k}^{\alpha_k},p_1<p_2<\cdots<p_kn=p1α1p2α2⋯pkαk,p1<p2<⋯<pk 且是素数，α1,α2,⋯αk\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_kα1,α2,⋯αk 是正整数。
设d(n)d(n)d(n) 为nnn 的正因子个数，ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 为nnn 的所有因子之和，则有
d(n)=(α1+1)(α2+1)⋯(αk+1)ϕ(n)=p1α1+1−1p1−1⋅p2α2+1−1p2−1⋯pkαk+1−1pk−1d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)\\ \phi(n)=\frac{{p_1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}·\frac{{p_2}^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{{p_k}^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1} d(n)=(α1+1)(α2+1)⋯(αk+1)ϕ(n)=p1−1p1α1+1−1⋅p2−1p2α2+1−1⋯pk−1pkαk+1−1
设a=ρ1r1ρ2r2⋯ρkrk,b=ρ1s1ρ2s2⋯ρkska={\rho_1}^{r_1}{\rho_2}^{r_2}\cdots {\rho_k}^{r_k},b={\rho_1}^{s_1}{\rho_2}^{s_2}\cdots {\rho_k}^{s_k}a=ρ1r1ρ2r2⋯ρkrk,b=ρ1s1ρ2s2⋯ρksk，则
gcd⁡(a,b)=ρ1min⁡(r1,s1)ρ2min⁡(r2,s2)⋯ρkmin⁡(rk,sk)lcm(a,b)=ρ1max⁡(r1,s1)ρ2max⁡(r2,s2)⋯ρkmax⁡(rk,sk)\gcd(a,b)={\rho_1}^{\min(r_1,s_1)}{\rho_2}^{\min(r_2,s_2)}\cdots {\rho_k}^{\min(r_k,s_k)}\\ \text{lcm}(a,b)={\rho_1}^{\max(r_1,s_1)}{\rho_2}^{\max(r_2,s_2)}\cdots {\rho_k}^{\max(r_k,s_k)} gcd(a,b)=ρ1min(r1,s1)ρ2min(r2,s2)⋯ρkmin(rk,sk)lcm(a,b)=ρ1max(r1,s1)ρ2max(r2,s2)⋯ρkmax(rk,sk)
n!n!n! 的素因子分解中素数ppp 的幂为[np]+[np2]+⋯[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+\cdots[pn]+[p2n]+⋯

威尔逊定理

若 ppp 是素数,则 (p−1)!≡−1(modp)(p-1) ! \equiv-1(\bmod p)(p−1)!≡−1(modp)

费马小定理

假如 ppp 是萦数, 且 (a,p)=1(a, p)=1(a,p)=1, 那么 ap−1≡1(modp)a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)ap−1≡1(modp)
推论：若ppp 是素数且aaa 是正整数，那么ap≡a(modp)a^{p} \equiv a(\bmod p)ap≡a(modp)

欧拉定理

欧拉函数 φ(n)\varphi(n)φ(n) ：不超过 nnn 且与 nnn 互素的正整数的个数，nnn 是一个正整数
设 mmm 是一正整数, aaa 是一个整数且 (a,m)=1(a, m)=1(a,m)=1, 那么 aφ(m)≡a^{\varphi(m)} \equivaφ(m)≡ 1(modm)1(\bmod m)1(modm).

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素数定理

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