线性代数(三十一) : 特征值与行列式以及迹的关系

矩阵与其特征值存在两个非常重要的关系：

1 假设A的特征值为a1,a2,a3,...,an,重根重复记，则：

2 证明

根据特征多项式的定义以及行列式的展开式得到：

令S=0可知特征多项式p的常数项为det(-A).
显然该式s的n次项和n-1次项只来自于对角线元素的乘积：

（1）式

根据初等代数知识，特征多项式可以做因式分解为：

对上式展开可知S的n-1次项的系数为：
a1+a2+,...,+an，在上式中令s=0得到常数项为(-1)^n a1a2,...*an参照(1)式可知：

3 示例求一下矩阵的迹，行列式和特征值并验证以上定理

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