CORDIC算法收敛性证明

2024-04-15 15:44:33

CORDIC算法收敛性证明

cordic算法通过·移位、加减、简单乘除与迭代即可实现三角函数值的转换，
详细的作用、优缺点基本原理与实现介绍，参考如下两篇博客：
https://www.eefocus.com/fpga/422418
https://www.cnblogs.com/touchblue/p/3535968.html
本文主要说明其收敛性。

首先得有无穷小项，确保拟合收敛精度，其次确保后级调控角度足够，因为每个角度值只能用一次，或加或减，用过了下次就必须用下一次迭代角度，所以如果每次迭代角度值衰减太快（极端情况，如当某个角度后续所有角度求和后收敛值小于该级误差，那后面即使全加不减也无法修正这个误差）。

进一步，corlic角度可以与pi/4/2 ^n 进行比较，然后与pi/4/2 ^ (n-1)，列出比较式，根据导函数来判断，不难发现corlic是位于两者之间的，此处不再列出过程。

matlab中简单列出前64项观察：黑色–corlic , 绿色pi/4/2 ^ (n-1), 红色 pi/4/2 ^n，可以看到黑色夹在两者之间。结合前面推导的收敛证明，**说明经过n次运算后，说明经过n次运算后，本级误差 ≤ 本级Corlic角≤pi/4/2 ^ (n-1)，也即32位宽的corlic值，对应角度精度误差至少能够保证到不超过 pi/4 / 2^30 **

clear;
format longE;n = linspace(0,63,64);
Angle_corlics = atan((1/2).^n);plot(Angle_corlics,'k');
hold onAngle_sn = (1/2).^n* (pi/4);
plot( Angle_sn , 'r');n1 = linspace(-1,62,64);
Angle_sn1 = (1/2).^n1* (pi/4);plot( Angle_sn1 , 'g');sub1 = Angle_sn1 - Angle_corlics
MIN=min(sub1)

输出MIN =
6.188586175577728e-20 > 0

补充：为何可以最后运算完成后统一乘上系数

由旋转坐标：

x2 、y2 同时拥有cosθ ，而决定角度关系的是其比值，同时乘除系数只会影响对应的赋值，而不会影响每次旋转角度，故可在最后处理（cosθ1 *cosθ2 *cosθ3 …）。

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