[线性代数]Note 1--方程组的几何解释
这是记录麻省理工学院公开课:线性代数的笔记,网址是麻省理工公开课:线性代数
第一节课说的是有关方程组的几何解释。网址是方程组的几何解释
首先是介绍方程组的几何解释,提出可以用矩阵表示,然后矩阵表示有两种表达方式,分别是行图像和列图像。行图像比较常见,比如两条直线相交,而列图像则比较少见。
两个未知数两个方程
然后老师举例说明,首先是两个方程组两个未知数的例子,例子如下所示:
\begin{cases} \ 2x-y = 0 \\\ -x+3y= 3 \end{cases}
用行图像表示如下所示:
\left[\begin{matrix}2 & -1 \\-1 & 3 \\\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right]
这里用A=[2−1−13]\left[\begin{matrix}2 & -1 \\-1 & 3 \\\end{matrix} \right],x = [xy]\left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right],b=[03]\left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right] ,可以得到Ax =b
这里表示的就是两条直线,并且它们相交于点(1,2)
。
如果是用列向量,则如下所示:
x\left[\begin{matrix}2 \\-1 \end{matrix} \right] + y\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right]
对于这种写法,老师称之为列向量的线性组合,然后在二维坐标平面上表示了这两个向量,而这个列向量的线性组合的解,其实在用行图像表示的时候已经得到了,就是x=1, y=2
。
三个未知数三个方程组
接着老师给出了三个未知数的情况,举例如下所示
\begin{cases} \ 2x-y = 0 \\\ -x+2y-z = -1 \\\ -3y+4z = 4\end{cases}
使用行图像表示, A = ⎡⎣⎢2−10−12−30−14⎤⎦⎥\left[\begin{matrix}2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4\end{matrix}\right], b= ⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥\left[\begin{matrix}0\\-1\\4\end{matrix}\right],
使用列图像表示是如下所示:
x\left[ \begin{matrix}2\\-1\\0\end{matrix} \right]+y\left[ \begin{matrix}-1\\2\\-3\end{matrix} \right]+z\left[ \begin{matrix}0\\-1\\4\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0\\-1\\4\end{matrix} \right]
如果通过行图像来求解,需要通过在三维坐标轴上画出3个平面求平面的交点,这是非常困难的。(这里老师也说了下一节课会介绍消元法来求解)。
而如果看列图像,则可以轻松得到答案:x=0,y=0,z=1
,当然这是老师特意设计的题目,所以才这么容易得到这个答案。
然后老师就问了一个问题:
对任意的b,都能令
Ax = b
有解吗?
这个问题对于这个三个未知数的例子来说,等价于这个例子中的列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间?
这里的答案当然是不能确定的,如果三个列向量都是在同一个平面上,那么得到的解也就只是在同一个平面的。
矩阵向量相乘的解法
最后老师介绍了矩阵与向量相乘的两种解法,首先是一个例子
\left[ \begin{matrix}2 & 5\\1 & 3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]
两种解法分别是按照行向量还是列向量来解答的。
第一种,如果是按照列向量解答,则可以写成如下所示:
\left[ \begin{matrix}2 & 5\\1 & 3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right] = 1\left[ \begin{matrix}2 \\1\end{matrix}\right]+ 2 \left[ \begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right]
第二种,就是按行来求解,如下所示:
\left[ \begin{matrix}2 & 5\\1 & 3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix}2*1+5*2\\1*1+3*2\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right]
也就是第一个矩阵的第一行乘以第二个向量的对应列,然后第二行乘以第二个向量的对应列。
这种解法也是当初刚开始学习线性代数所学习的方法。
总结
这节课的收获主要是了解到列向量这种求法,之前对于矩阵的求解,还是通过按行来相乘求解的。不过在这节课中的例子都是矩阵乘以向量得到一个向量,如果是矩阵之间的相乘,不知道是否还是可以如此解决。
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