正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2150

题目大意

将2∼n2\sim n2∼n选出一些分成两个集合，要求这两个集合中没有一对数不是互质的。求方案数对ppp取模

2≤n≤500,1≤p≤10102\leq n\leq 500,1\leq p\leq10^{10}2≤n≤500,1≤p≤1010

解题思路

数据小的情况我们可以把所有质数拿出来状压，但是这里500500500质数还是很多的，所以我们不能直接这么搞。

平时我们质因数分解能够发现nnn分解后最多只有一个>n>\sqrt n>n的质因子。这里n\sqrt nn以内的质数只有888个好像可以搞。

枚举一个大于888的质数xxx，对于所有包含这个质因子的数两个集合中只能有一个存在，然后前888个状压，设fi,jf_{i,j}fi,j分别表示两个集合中的前888个质数拥有的集合。显然转移的时候只需要满足i&j=0i\&j=0i&j=0即可。

然后对于拥有同一个大质数的所有数字只能有一个集合选择，f0i,jf0_{i,j}f0i,j表示第一个集合选，f1i,jf1_{i,j}f1i,j表示第二个集合选，然后做完之后fi,j=f0i,j+f1i,j−fi,jf_{i,j}=f0_{i,j}+f1_{i,j}-f_{i,j}fi,j=f0i,j+f1i,j−fi,j就好了。

时间复杂度O(n282)O(n2^{8^2})O(n282)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510,M=256;
ll pri[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
ll n,P,s[N],f[M][M],f0[M][M],f1[M][M],ans;
vector<int>p[N];
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&P);for(ll i=2;i<=n;i++){ll x=i;for(ll j=0;j<8;j++)if(x%pri[j]==0){s[i]|=(1<<j);while(x%pri[j]==0)x/=pri[j];}p[x].push_back(i);}f[0][0]=1;for(ll x=1;x<=500;x++){if(!p[x].size())continue; for(ll y=0;y<p[x].size();y++){if(y==0||x==1){memcpy(f0,f,sizeof(f0));memcpy(f1,f,sizeof(f1));}ll c=p[x][y];for(ll i=255;i>=0;i--)for(ll j=255;j>=0;j--){if(i&j)continue;if(!(s[c]&j))(f0[i|s[c]][j]+=f0[i][j])%=P;if(!(s[c]&i))(f1[i][j|s[c]]+=f1[i][j])%=P;}if(y!=p[x].size()-1&&x!=1)continue;for(ll i=0;i<256;i++)for(ll j=0;j<256;j++)f[i][j]=(f0[i][j]+f1[i][j]-f[i][j])%P;}}for(ll i=0;i<256;i++)for(ll j=0;j<256;j++)(ans+=f[i][j])%=P;printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}

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