P2150 [NOI2015]寿司晚宴

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https://www.luogu.com.cn/problem/P2150

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有n−1n-1n−1个数，它们是在[2,n][2,n][2,n]范围内的正整数
现在试着从中选出若干个数，并分为两个集合A,BA,BA,B，要求AAA中的任何一个元素和BBB中的任何一种元素都没有公因数
问方案数

数据范围：
n≤500,p≤1010n\leq 500,p\leq 10^{10}n≤500,p≤1010

SolutionSolutionSolution

转化题意，我们对[2,n][2,n][2,n]的每个数分解质因数，问题转化成为选出两个集合不含相同的质因数
显然我们可以状压这些质因数，但貌似个数太多了？
容易发现，大于n\sqrt nn的质因数至多只有一个，小于n\sqrt nn的至多有8个，所以我们可以对其分块
将iii大于n\sqrt nn的质因数记为bigibig_ibigi，对bigibig_ibigi相同的数统一转移（这些数至多只能选一个）

则设f[i][j][k]f[i][j][k]f[i][j][k]表示选到第iii个数，AAA集合选取前八个质因子的状态为jjj，BBB集合选取前八个质因子的状态为kkk，显然第一维可以滚动掉
考虑对bigbigbig的情况进行处理，设g[0/1][j][k]g[0/1][j][k]g[0/1][j][k]表示AAA集合选取前八个质因子状态为jjj，BBB集合选取前八个质因子的状态为kkk，bigbigbig被A/BA/BA/B选取的方案数
当k&a[i].S==0k\&a[i].S==0k&a[i].S==0时有转移g[0][j∣a[i].S][k]+=g[0][j][k]g[0][j|a[i].S][k]+=g[0][j][k]g[0][j∣a[i].S][k]+=g[0][j][k]，表示如果BBB集合中完全没有aia_iai含有的质因子集合，则AAA集合可以选取它
当j&a[i].S==0j\&a[i].S==0j&a[i].S==0时有转移g[1][j][k∣a[i].S]+=g[1][j][k]g[1][j][k|a[i].S]+=g[1][j][k]g[1][j][k∣a[i].S]+=g[1][j][k]，表示如果AAA集合中完全没有aia_iai含有的质因子集合，则BBB集合可以选取它

则f=g[0]+g[1]−ff=g[0]+g[1]-ff=g[0]+g[1]−f，减的原因是上述转移同时减去了A,BA,BA,B都不选取bigbigbig的情况

g=fg=fg=f（初始化）当且仅当位于一个块的开始（我们已经对aia_iai按照bigbigbig分块）
从ggg转移到fff当且仅当位于一个块的结束

时间复杂度：
O(216n)O(2^{16}n)O(216n)

CodeCodeCode

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 256
#define LL long long
using namespace std;int n;
const int p[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
LL mod,f[MAXN][MAXN],g[2][MAXN][MAXN],res;
struct node{int big,S;}a[510];
inline bool cmp(node x,node y){return x.big>y.big;}
inline LL read()
{char c;LL d=1,f=0;while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;return d*f;
}
signed main()
{n=read();mod=read();for(register int i=1;i<n;i++){int tmp=i+1;for(register int j=0;j<8&&tmp>=p[j];j++)//质因数分解if(tmp%p[j]==0){a[i].S|=1<<j;do{tmp/=p[j];}while(tmp%p[j]==0);}a[i].big=tmp;//记录}sort(a+1,a+n,cmp);//按照big分块f[0][0]=1;for(register int i=1;i<n;i++){if(i==1||a[i].big!=a[i-1].big||a[i].big==1)//位于一个块的开始{memcpy(g[0],f,sizeof(f));memcpy(g[1],f,sizeof(f));}for(register int j=MAXN-1;j>=0;j--)for(register int k=MAXN-1;k>=0;k--)//倒序循环，因为是滚动数组{if(j&k) continue;if((k&a[i].S)==0) (g[0][j|a[i].S][k]+=g[0][j][k])%=mod;if((j&a[i].S)==0) (g[1][j][k|a[i].S]+=g[1][j][k])%=mod;}if(i==n-1||a[i].big!=a[i+1].big||a[i].big==1)//位于一个块的结束{for(register int j=0;j<MAXN;j++)for(register int k=0;k<MAXN;k++){if(j&k) continue;f[j][k]=(g[0][j][k]+g[1][j][k]-f[j][k]+mod)%mod;}} }for(register int j=0;j<MAXN;j++)for(register int k=0;k<MAXN;k++){if(j&k) continue;(res+=f[j][k])%=mod;//统计答案}printf("%lld",res);
}