正题

题面链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF932F

题目大意

nnn个点的一棵树，从xxx跳到yyy（要求yyy在xxx的子树中）会产生Ax∗ByA_x*B_yAx∗By的代价，求每个节点出发跳到某个叶节点的最小代价。

解题思路

考虑dpdpdp的话，那么有fx=fy+Ax∗Byf_x=f_y+A_x*B_yfx=fy+Ax∗By，这个式子可以考虑斜率优化，若y1y_1y1比y2y_2y2优，那么有fy1−fy2By1−By2≥Ax\frac{f_{y_1}-f_{y_2}}{B_{y_1}-B_{y_2}}\geq A_xBy1−By2fy1−fy2≥Ax
也就是我们对于每个节点要维护一个子树里所有点构成的一个下凸壳。

考虑树上启发式合并+CDQ+CDQ+CDQ，我们要求一个序列使得被贡献的点排在贡献点的后面。维护一个序列，每次我们保留重子树的序列，然后再加入其它轻子树的序列，当到一个节点的头顶上是一条轻边时我们就对这个序列跑一次CDQCDQCDQ来维护凸壳，然后清空序列。需要注意的是对于二次扫描轻子树的节点需要标记不能在CDQCDQCDQ分治中被修改答案。

时间复杂度O(nlog⁡2n)O(n\log^2 n)O(nlog2n)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
struct node{ll to,next;
}e[N*2];
ll n,tot,ls[N],a[N],b[N],f[N],siz[N],son[N];
ll cnt,q[N],p[N],v[N],st[N],rfn[N];
void addl(ll x,ll y){e[++tot].to=y;e[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){siz[x]=1;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;}return;
}
bool cmp(ll x,ll y)
{return a[x]<a[y];}
bool cMp(ll x,ll y)
{return (b[x]==b[y])?(f[x]<f[y]):(b[x]<b[y]);}
double slope(ll x,ll y)
{return (double)(f[x]-f[y])/(b[x]-b[y]);}
void cdq(ll l,ll r){if(l==r)return;ll mid=(l+r)>>1,cnt1=l-1,cnt2=mid;for(ll i=l;i<=r;i++)if(rfn[p[i]]<=mid)q[++cnt1]=p[i];else q[++cnt2]=p[i];for(ll i=l;i<=r;i++)p[i]=q[i];cdq(l,mid);ll tot=0;for(ll i=l;i<=mid;i++){if(b[p[i]]==b[p[i-1]]&&i!=l)continue;while(tot>1&&slope(st[tot-1],st[tot])>slope(st[tot-1],p[i]))tot--;st[++tot]=p[i];}for(ll i=mid+1;i<=r;i++){if(v[p[i]])continue;while(tot>1&&slope(st[tot-1],st[tot])>-a[p[i]])tot--;ll x=p[i],y=st[tot];f[x]=min(f[x],f[y]+a[x]*b[y]);}cdq(mid+1,r);sort(p+l,p+1+r,cMp);return;
}
void calc(ll x,ll fa){p[++cnt]=x;rfn[x]=cnt;v[x]=1;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa)continue;calc(y,x);}
}
void solve(ll x,ll fa,ll top){for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa||y==son[x])continue;solve(y,x,y);}if(son[x])solve(son[x],x,top);else f[x]=0;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(y==fa||y==son[x])continue;calc(y,x);}p[++cnt]=x;rfn[x]=cnt;v[x]=(!son[x]);if(x==top){sort(p+1,p+1+cnt,cmp);cdq(1,cnt);cnt=0;}return;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}memset(f,0x3f,sizeof(f));dfs(1,1);solve(1,1,1);for(ll i=1;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);return 0;
}

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