过拟合

  在进行数据挖掘或者机器学习模型建立的时候，因为在统计学习中，假设数据满足独立同分布，即当前已产生的数据可以对未来的数据进行推测与模拟，因此都是使用历史数据建立模型，即使用已经产生的数据去训练，然后使用该模型去拟合未来的数据。但是一般独立同分布的假设往往不成立，即数据的分布可能会发生变化（distribution drift），并且可能当前的数据量过少，不足以对整个数据集进行分布估计，因此往往需要防止模型过拟合，提高模型泛化能力。而为了达到该目的的最常见方法便是：正则化，即在对模型的目标函数（objective function）或代价函数（cost function）加上正则项。 
  在对模型进行训练时，有可能遇到训练数据不够，即训练数据无法对整个数据的分布进行估计的时候，或者在对模型进行过度训练（overtraining）时，常常会导致模型的过拟合（overfitting）。如下图所示： 
 
  通过上图可以看出，随着模型训练的进行，模型的复杂度会增加，此时模型在训练数据集上的训练误差会逐渐减小，但是在模型的复杂度达到一定程度时，模型在验证集上的误差反而随着模型的复杂度增加而增大。此时便发生了过拟合，即模型的复杂度升高，但是该模型在除训练集之外的数据集上却不work。 
  

方法

• 提前终止（当验证集上的效果变差的时候）
• 正则化（Regularization）
  1. L1正则化
  2. L2正则化
• 数据集扩增（Data augmentation）
• Dropout

1、提前终止

  对模型进行训练的过程即是对模型的参数进行学习更新的过程，这个参数学习的过程往往会用到一些迭代方法，如梯度下降（Gradient descent）学习算法。Early stopping便是一种迭代次数截断的方法来防止过拟合的方法，即在模型对训练数据集迭代收敛之前停止迭代来防止过拟合。 
  Early stopping方法的具体做法是，在每一个Epoch结束时（一个Epoch集为对所有的训练数据的一轮遍历）计算validation data的accuracy，当accuracy不再提高时，就停止训练。这种做法很符合直观感受，因为accurary都不再提高了，在继续训练也是无益的，只会提高训练的时间。那么该做法的一个重点便是怎样才认为validation accurary不再提高了呢？并不是说validation accuracy一降下来便认为不再提高了，因为可能经过这个Epoch后，accuracy降低了，但是随后的Epoch又让accuracy又上去了，所以不能根据一两次的连续降低就判断不再提高。一般的做法是，在训练的过程中，记录到目前为止最好的validation accuracy，当连续10次Epoch（或者更多次）没达到最佳accuracy时，则可以认为accuracy不再提高了。此时便可以停止迭代了（Early Stopping）。这种策略也称为“No-improvement-in-n”，n即Epoch的次数，可以根据实际情况取，如10、20、30……

2、数据集扩增

  在数据挖掘领域流行着这样的一句话，“有时候往往拥有更多的数据胜过一个好的模型”。因为我们在使用训练数据训练模型，通过这个模型对将来的数据进行拟合，而在这之间又一个假设便是，训练数据与将来的数据是独立同分布的。即使用当前的训练数据来对将来的数据进行估计与模拟，而更多的数据往往估计与模拟地更准确。因此，更多的数据有时候更优秀。但是往往条件有限，如人力物力财力的不足，而不能收集到更多的数据，如在进行分类的任务中，需要对数据进行打标，并且很多情况下都是人工得进行打标，因此一旦需要打标的数据量过多，就会导致效率低下以及可能出错的情况。所以，往往在这时候，需要采取一些计算的方式与策略在已有的数据集上进行手脚，以得到更多的数据。 
  通俗得讲，数据机扩增即需要得到更多的符合要求的数据，即和已有的数据是独立同分布的，或者近似独立同分布的。一般有以下方法：

• 从数据源头采集更多数据
• 复制原有数据并加上随机噪声
• 重采样
• 根据当前数据集估计数据分布参数，使用该分布产生更多数据等

如图像处理：

• 图像平移。这种方法可以使得网络学习到平移不变的特征。
• 图像旋转。学习旋转不变的特征。有些任务里，目标可能有多种不同的姿态，旋转正好可以弥补样本中姿态较少的问题。
• 图像镜像。和旋转的功能类似。
• 图像亮度变化。甚至可以用直方图均衡化。
• 裁剪。
• 缩放。
• 图像模糊。用不同的模板卷积产生模糊图像。

3、正则化

正则化方法是指在进行目标函数或代价函数优化时，在目标函数或代价函数后面加上一个正则项，一般有L1正则与L2正则等。

　　3.1、L1正则

在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项，即所有权重w的绝对值的和，乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，需要再乘以1/2。）

同样先计算导数：

上式中sgn(w)表示w的符号。那么权重w的更新规则为：

比原始的更新规则多出了η * λ * sgn(w)/n这一项。当w为正时，更新后的w变小。当w为负时，更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

另外，上面没有提到一个问题，当w为0时怎么办？当w等于0时，|W|是不可导的，所以我们只能按照原始的未经正则化的方法去更新w，这就相当于去掉η*λ*sgn(w)/n这一项，所以我们可以规定sgn(0)=0，这样就把w=0的情况也统一进来了。（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）

　　3.2、L2正则化

L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：

C0代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外还有一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与1/2相乘刚好凑整。

L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

另外，需要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对比上面w的更新公式，可以发现后面那一项变了，变成所有导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

到目前为止，我们只是解释了L2正则化项有让w“变小”的效果，但是还没解释为什么w“变小”可以防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。当然，对于很多人（包括我）来说，这个解释似乎不那么显而易见，所以这里添加一个稍微数学一点的解释（引自知乎）：

过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？如下图所示，过拟合，就是拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大。在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而正则化是通过约束参数的范数使其不要太大，所以可以在一定程度上减少过拟合情况。

4、Dropout

L1、L2正则化是通过修改代价函数来实现的，而Dropout则是通过修改神经网络本身来实现的，它是在训练网络时用的一种技巧（trike）。它的流程如下：

假设我们要训练上图这个网络，在训练开始时，我们随机地“删除”一半的隐层单元，视它们为不存在，得到如下的网络：

保持输入输出层不变，按照BP算法更新上图神经网络中的权值（虚线连接的单元不更新，因为它们被“临时删除”了）。

以上就是一次迭代的过程，在第二次迭代中，也用同样的方法，只不过这次删除的那一半隐层单元，跟上一次删除掉的肯定是不一样的，因为我们每一次迭代都是“随机”地去删掉一半。第三次、第四次……都是这样，直至训练结束。

以上就是Dropout，它为什么有助于防止过拟合呢？可以简单地这样解释，运用了dropout的训练过程，相当于训练了很多个只有半数隐层单元的神经网络（后面简称为“半数网络”），每一个这样的半数网络，都可以给出一个分类结果，这些结果有的是正确的，有的是错误的。随着训练的进行，大部分半数网络都可以给出正确的分类结果，那么少数的错误分类结果就不会对最终结果造成大的影响。

更加深入地理解，可以看看Hinton和Alex两牛2012的论文《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》

参考：

http://blog.csdn.net/heyongluoyao8/article/details/49429629

http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

http://blog.csdn.net/thesby/article/details/53164257