连通图的最小生成树

生成树定义：

无向连通图G的极小连通子图，称为它的生成树。(n个顶点，n-1条边)

考虑一下下面这个图

上图是一个完全图，它的生成树不是唯一的，我们列出最特殊的两种情况

上面2个图都是第一个完全图的生成树，但是2者是完全不同的。

按照深度优先遍历生成的生成树，称为深度优先生成树

按照广度优先遍历生成的生成树，称为广度优先生成树

非连通图的生成森林，概念比较简单，无非就是非连通图的极大连通子图和生成树的概念叠加

最小生成树

图G是带权的无向连通图，生成树上个边权值之和称为生成树的代价，代价最小的生成树称为最小生成树。

最小生成树的生成算法

Prim算法

现有连通图G=(V, E)，其最小连通图TG=(TV, TE)。

初始状态下：V = {V0, V1, V2 ... Vn}; TV = {}

从V当中任选一顶点，插入TV，V = {V0, V1, V2 ... Vn}; TV = {V0}

找连接TV和V-TV这两个集合的权值最小的边，插入TE，并把该边2顶点当中原本不属于TV的顶点加入TV；

重复上一步骤

知道V = TV

下面是java实现，首先我们需要修改一下之前的生成图的代码，我们生成了一棵7个顶点的完全图，每一条边的权值是100以内的随机数。

Graph graph = new Graph();

String nodeNames[] = {"aaa", "bbb", "ccc", "ddd", "eee", "fff", "ggg"};

for (String s : nodeNames) {

graph.nodes.add(new Node(s));

}

graph.arcs = new int[nodeNames.length][nodeNames.length];

Random ra = new Random();

for (int i = 0; i < graph.nodes.size(); i ++){

for (int j = 0; j < graph.nodes.size(); j ++){

if (i != j){

graph.arcs[i][j] = ra.nextInt(100) + 1;

}

}

}

然后是最小生成树的Prim算法实现，解释一下，首先创建一个二维数组表示边，把空间都分配好，只等着往里面填数就行。然后是一个TreeMap对象，来保存顶点，之所以用TreeMap，是为了保证新图的顶点顺序和原图是一致的。剩下的基本就是跟前面算法描述的差不多，大家对着看就行，没什么太难的地方。

public Graph getMinTree(){

int newArcs[][] = new int[this.nodes.size()][this.nodes.size()];

Map newNodes = new TreeMap();

newNodes.put(0, this.nodes.get(0));

while(newNodes.size() != this.nodes.size()){

int minWeight = 99999;

int minI = -1;

int minJ = -1;

for(int i : newNodes.keySet()){

for (int j = 0; j < this.nodes.size(); j ++){

if (i != j && !newNodes.containsKey(j)){

if (this.arcs[i][j] < minWeight){

minWeight = this.arcs[i][j];

minI = i;

minJ = j;

}

}

}

}

newNodes.put(minJ, this.nodes.get(minJ));

newArcs[minI][minJ] = minWeight;

newArcs[minJ][minI] = minWeight;

}

Graph res = new Graph();

res.arcs = newArcs;

res.nodes.addAll(newNodes.values());

return res;

}

下面有一次测试的输出，2个图，分别是原图的所有权值信息，另一个是最小生成树的权值信息

然后还可以用连通图的dfs算法检查一下。

Kruskal算法

先将所有边按照权值，从小到大排序

依次访问各边，如果生成回路，则舍弃，否则加入生成树，同时将该边的另一顶点加入生成树

直到所有顶点被加入

java实现，省略。