算法图解第四章笔记与习题（快速排序）

文章目录

算法图解第四章笔记与习题（快速排序）
- 4.1 分而治之
- 4.2 快速排序
- 4.3 大$O$表示法的平均情况和最糟情况
- 4.4 小结
- 练习
- - - 习题4.1
    - 习题4.2
    - 习题4.3
    - 习题4.4
  - 使用大O表示法时，下面各种操作都需要多长时间？
  - - 习题4.5
    - 习题4.6
    - 习题4.7
    - 习题4.8

4.1 分而治之

分而治之（divide and conquer）D&G是一种著名的递归式问题解决方法。——分而治之是递归的。

分而治之的算法是递归的。使用分而治之算法解决问题的过程包括两个步骤。

（1）找出基线条件，这种条件必须尽可能接单。

（2）不断地将问题分解（或者说缩小规模），直到使其符合基线条件。

例如，对于数组类问题的基线条件，则常常是数组为空，或数组内仅有一个元素。分解方式则通常是将其分为两个尽可能等大小的数组。

4.2 快速排序

def quicksort(array):if len(array) < 2:    # 基线条件：为空或只包含一个元素的数组是“有序”的return arrayelse:                 # 递归条件pivot = array[0]                                # 选定数组中的第一个值为基准值less = [i for i in array[1:] if i <= pivot]     # 得到比基准值小的数字组成的数组greater = [i for i in array[1:] if i > pivot]   # 得到比基准值大的数字组成的数组return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)     # 将子数组进行快速排序，再与基准值一同组成有序数组。print(quicksort([10, 5, 2, 3]))

4.3 大OOO表示法的平均情况和最糟情况

最糟情况指的是算法运行时可能遇到的最坏的情况。
平均情况指的是算法遇到时的最佳情况。（最佳情况也是平均情况）

快速排序的平均情况为O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)，最糟情况为O(n2)O(n^2)O(n2)。这取决于基准值选取的好坏。

当每次基准值选取的均为最差情况时，则需要对包含nnn个元素的数组进行nnn次基准值的选取。当每次基准这选取的均为最佳情况时，则仅需要log⁡n\log nlogn次选取。（二分）

而当每一次选取基准值后，数组的每个元素均需要和基准值进行对比，因此，每次选取基准值之后需要进行nnn次比较。

因此，快速排序的最糟情况为O(n∗n)=O(n2)O(n* n)=O(n^2)O(n∗n)=O(n2)，平均情况为O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。

4.4 小结

分而治之算法将问题逐步分解。使用分而治之算法处理列表时，基线条件很可能是空数组或只包含一个元素的数组。
实现快速排序时，请随机地选择用作基准值的元素。快速排序的平均运行时间为O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)。
大OOO表示法中的常量有时候事关重大，这就是快速排序比合并排序快的原因所在。
比较简单查找和二分查找时，常量几乎无关紧要，因为列表很长时，O(log⁡n)O(\log n)O(logn)的速度比O(n)O(n)O(n)快得多。

练习

习题4.1

请编写前述sum函数的代码。（递归求和，基线条件为数组空）

def sum(arr):if arr  == []:    # 基线条件：数组为空return 0
#    elif len(arr) == 1:    # 基线条件：数组内只有一个元素(可省略)
#        return arr[0]else:return arr[0] + sum(arr[1:])    # 递归条件：计算数组中第一个元素外元素的和，并与第一个元素再相加

习题4.2

编写一个递归函数来计算列表包含的元素数。

def count(arr):if arr  == []:    # 基线条件：数组为空return 0
#    elif len(arr) == 1:    # 基线条件：数组内只有一个元素(可省略)
#        return 1else:return 1 + count(arr[1:])    # 递归条件：计算数组中第一个元素外剩余元素个数，再加一

上面两题中，数组内只有一个元素的情况均可省略。因为数组只有一个元素——即剩余数组为空的情况，已经被基线条件包含了，因此可以省略。

习题4.3

找出列表中最大的数字。

def max(arr):if arr  == []:    # 基线条件：数组为空return Noneelif len(arr) == 1:    # 基线条件：数组内只有一个元素return arr[0]elif len(arr) == 2:    # 基线条件：数组内有两个元素，返回最大值（可用内置的max()代替）if arr[0] > arr[1]:return arr[0]else:return arr[1]else:return max([arr[0], max(arr[1:])])    # 递归条件：比较第一个元素与数组中剩余元素的最大值。

习题4.4

还记得第1章介绍的二分查找吗？它也是一种分而治之算法。你能找出二分查找算法的基线条件和递归条件吗？

基线条件：数组中仅剩一个元素（是否为查找元素为另外的判断，不属于基线条件之内）

递归条件：将数组分为两部分，如果查找值比第一部分的最大值小，则对第一部分继续二分查找，否则对剩余部分进行二分查找。

使用大O表示法时，下面各种操作都需要多长时间？

习题4.5

打印数组中每个元素的值。

每个元素进行一次打印操作。$O(n) $。

习题4.6

将数组中每个元素的值都乘以2。

n个元素进行一次乘法操作。故为O(n)O(n)O(n) 。

习题4.7

只将数组中第一个元素的值乘以2。

O(1)O(1)O(1)。

习题4.8

根据数组包含的元素创建一个乘法表，即如果数组为[2, 3, 7, 8, 10]，首先将每个元素都乘以2，再将每个元素都乘以3，然后将每个元素都乘以7，以此类推。

n个元素做n次乘法操作。故为O(n2)O(n^2)O(n2) 。