【Codeforces Round #317 Div1 —— A】Lengthening Sticks【数学思维题】

题意：

给出三个木棒的长度为aaa、bbb、ccc，再给出一个长度 lll 用来增加三根木棒的长度。三根木棒长度增加之和不能超过lll，可以为000。问有多少种增长方案使得这三根木棒可以拼成一个三角形。(1≤a,b,c≤3∗105,0≤l≤3∗105)(1\leq a,b,c\leq 3*10^5,0\leq l\leq 3*10^5)(1≤a,b,c≤3∗105,0≤l≤3∗105)

思路：

最简单的思路就是令xxx、yyy、zzz分别为aaa、bbb、ccc三根木棒的长度增加值。则 x+y+z≤lx+y+z \leq lx+y+z≤l，然后令 x+y+z=H (0≤H≤l)x+y+z = \text{H} \ (0\leq H\leq l)x+y+z=H (0≤H≤l)，枚举 H\text{H}H，计算答案。

比赛时我的思路是正向求解这个问题，然后就可以列出下述的式子。
{x+y+z=Ha+x<b+y+z+cb+y<a+x+z+cz+c<a+x+b+y\left\{ \begin{aligned} & x+y+z = \text{H} \\ & a+x < b+y+z+c \\ & b+y < a+x+z+c \\ & z+c < a+x+b+y \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x+y+z=Ha+x<b+y+z+cb+y<a+x+z+cz+c<a+x+b+y
于是问题就变成了一个线性规划问题，要求在线性规划区域中找到有多少个整点。然后就是不断的公式化简和推导，然后成功自闭…

其实推导到这个程度之后就应该及时调整解题方向，线性规划问题的难度是很大的，现在也没有比较好的通用方向进行解决。所以推导到线性规划之后就应该及时调转车头。

于是我们从反向入手，考虑一下容斥的思想。枚举H\text{H}H之后，计算有多少种方案使得木棒无法构成三角形。木棒无法构成三角形主要是因为最长的木棒长度 >>> 剩下两个木棒长度相加。因此我们枚举哪一根木棒是最长的木棒。

假如枚举了木棒 aaa 为最长的木棒，则
{x+y+z=Ha+x>b+y+c+z\left\{ \begin{aligned} & x+y+z = \text{H} \\ & a+x > b+y+c+z \\ \end{aligned} \right.{x+y+z=Ha+x>b+y+c+z
可以得到 2∗x>b+c+H−a2*x >b+c+\text{H}-a2∗x>b+c+H−a，可以求出 x≥basex\geq basex≥base，于是只要给aaa分配的长度大于basebasebase，就一定不可以构成三角形，于是问题转化为 x+y+z=H−basex+y+z = \text{H}-basex+y+z=H−base 有多少种分配方案。

而所有的分配方案数为 x+y+z=Hx+y+z = \text{H}x+y+z=H 的方案数。于是问题转化成了a+b+c=za+b+c = za+b+c=z 有多少种不同的分配方案。

首先考虑 b+c=zb+c=zb+c=z 有多少种不同的分配方案数。很明显有 z+1z+1z+1 种分配方案，因此枚举 aaa，可以发现 a+b+c=za+b+c=za+b+c=z 的分配方案数为 (z+1)+z+(z−1)+...+1=(z+1)∗(z+2)2(z+1)+z+(z-1)+...+1 = \frac{(z+1)*(z+2)}{2}(z+1)+z+(z−1)+...+1=2(z+1)∗(z+2)。当然也可以直接用组合数来求取答案，用隔板法可以得到总方案数为 C(z+2,2)C(z+2,2)C(z+2,2)，至此本题即可解决。

反思：

首先总结一下常见的几个数学思维。
① 正难则反 —— 容斥思想、反演思想
② 变量思想 —— 设出未知量再不断进行方程化简，寻找规律

再总结一下此类数学思维题的一些经验。
① 一道题拿到手上之后，一定要对问题不断进行抽象化简，不断地深入思考，抽丝剥茧，逐层深入，才有可能能够解决这个问题。
② 要擅长去找到规律，从小例子上找到思路然后放到大例子上进行解决。

一个数学式子记录。
a+b+c=z，za+b+c = z，za+b+c=z，z 为常数，一共有 C(z+2,2)C(z+2,2)C(z+2,2) 种 <a,b,ca,b,ca,b,c> 分配方案。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e5+100;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;int a,b,c,l;
ll ans;ll calc(ll a1,ll len){ll tp = ((a1+a1+len-1ll)*len)/2ll;return tp;
}ll solve(int a1,int b1,int c1,int len){ll tp = ceil((b1+c1+len-a1)/2.0-0.1);    tp = max(0ll,tp);len -= tp;// LOG1("len",len);if(len < 0) return 0;ll hp = calc(1,len+1);return max(0ll,hp);
}int main()
{scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&l);rep(i,0,l){ll tp1 = max(0ll,calc(1,i+1));// LOG2("i",i,"tp1",tp1);ll tp2 = 0;tp2 += solve(a,b,c,i);// LOG1("tp2",tp2);tp2 += solve(b,a,c,i);// LOG1("tp2",tp2);tp2 += solve(c,a,b,i);// LOG1("tp2",tp2);ans += tp1-tp2;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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