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这是一个关于统计学-时间序列分析ppt，主要介绍时间序列的分解、指数平滑 、ARIMA模型 。欢迎点击下载哦。

第8章  时间序列分析   Time Series Analysis

学习目标

为什么要进行时间序列分析？

8.1  时间序列的分解

8.1.1  时间序列的构成成分

长期趋势

季节变动( S )

循环变动(C)

不规则变动(I)

8.1.2  时间序列分解模型

时间序列的组成成分之间可能是乘法或加法的关系，因此，时间序列可用多种模型进行分解，常见的有加法模型、乘法模型和加乘混合模型。

加法模型假设时间序列中每一个指标数值都是长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四种成分的总和，在加法模型中，四种成分之间是相互独立的。某种成分的变动并不影响其他成分的变动。各个成分都用绝对量表示，并且具有相同的量纲。

乘法模型

乘法模型是假设时间序列中每一个指标数值都是长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四种成分的乘积。在乘法模型中, 四种成分之间保持着相互依存的关系。一般而言，长期趋势成分用绝对量表示，具有和时间序列本身相同的量纲，其它成分则用相对量表示。

加乘混合模型

加乘混合模型，比如

时间序列分解模型的选取需要考虑到现象变化的规律和数据本身的特征，如果季节变动(循环变动、不规则变动)依赖于长期趋势的变化，则宜选用乘法模型或加乘混合模型，否则可以考虑加法模型。

8.1.3  时间序列长期趋势分析

1  移动平均法

N 期移动平均数

把时间序列连续 N 期的平均数作为最近一期(第t期)的趋势值:

中心化移动平均

把时间序列连续 N 期的平均数作为 N 期的中间一期的趋势值。

如果N为奇数，则把N期的移动平均值作为中间一期的趋势值。

如果N为偶数，须将移动平均数再进行一次两项移动平均，以调整趋势值的位置，使趋势值能对准某一时期)。相当于对原序列进行一次N+1 项移动平均，首末两个数据的权重为0.5，中间数据权重为1。

Example 1

中心移动平均法

移动平均的结果

Example  2

移动平均法可以作为测定长期趋势的一种较为简单的方法，在股市技术分析中有广泛的应用。比如对某只股票的日收盘价格序列分别求一次5日、10日、一个月的移动平均就可以得到其5日、10日、一个月的移动平均股价序列，进而得到5日线、10日线、月线，用以反映股价变动的长期趋势。

移动平均股价序列

移动平均法的应用

2、时间回归法(趋势方程法)

趋势线的选择

趋势方程的估计方法

Example 1: 新卫机械厂的销售收入

Excel的计算结果

趋势方程

8.1.4  时间序列季节变动分析

季节指数

用移动平均趋势剔除法计算季节指数

案例: 海鹏网球中心的利润。

季节指数的计算

季节指数的计算

季节指数的图形

季节调整(Seasonal Adjustment)

将原序列实际数值除以季节指数可以消除季节变动的影响。此数列通常被称为“季节调整后的序列”， 它便于较为准确地分析长期趋势和循环变动。

销售额时间序列的例子(SPSS软件)

对销售额时间序列，分别利用乘法模型和加法模型由SPSS软件计算出的季节指数和季节因素后，可以看出，销售旺季为8月份，淡季为12月份。

时间序列图形

从数据图可以看出，销售额时间序列的季节变化并未表现出与长期趋势明显的依赖性，因此，使用加法模型分析该销售额时间序列的季节变动较为合适。

销售额时间序列的例子

销售额时间序列的例子

8.1.5  时间序列循环变动分析

循环变动

循环变动的图形

不规则变动

8.1.6  时间序列分解预测法

以乘法模型为例

Example : 销售额时间序列分解法预测(SPSS)

为了考察预测效果，利用1990.1－2001.12数据对2002年各月的销售额进行预测，这样可以计算预测误差。

首先原始序列进行成分分解，这里我们选择乘法模型(分析预测季节性分解)，得到序列的季节指数和季节调整后的序列。

Example : 销售额时间序列分解法预测(SPSS)：长期趋势的估计

根据季节调整后的序列(包含TCI成分)拟合二次趋势方程。

因为t在模型中不显著，被从模型中剔除

注：也可以根据原始数据拟合趋势方程；或者对原始序列的12期中心化移动平均序列(包含TC成分)建立趋势模型。

Example : 销售额时间序列分解法预测(SPSS)

利用二次模型预测出2002年各月份的销售额的趋势值，再乘以季节指数就可以得到2002年各月份的销售额的预测值。

预测误差的测度指标

预测误差的测度指标

乘法模型的预测误差

乘法模型的预测误差

MAE=2.86

MSE=11.83

RMSE=3.44

MAPE=2.91%

8.2  指数平滑 Exponential smoothing

8.2.1  单参数(一次)指数平滑

8.2.2 双参数指数平滑

8.2.3  三参数指数平滑

指数平滑方法的基本原理

指数平滑是一种加权移动平均，既可以用来描述时间序列的变化趋势，也可以实现时间序列的预测。

指数平滑预测的基本原理是：用时间序列过去取值的加权平均作为未来的预测值，离当前时刻越近的取值，其权重越大。

8.2.1  单参数(一次)指数平滑

单参数指数平滑的模型为：

适用场合

单参数(一次)指数平滑适用于不包含长期趋势和季节成分的时间序列预测

如果原序列有增长趋势，平滑序列将系统的低于实际值

如果原序列有下降趋势，平滑序列将系统的高于实际值

平滑系数的确定

选择合适的平滑系数是提高预测精度的关键。

如果序列波动较小，则平滑系数应取小一些，不同时期数据的权数差别小一些，使预测模型能包含更多历史数据的信息；

如果序列趋势波动较大，则平滑系数应取得大一些。这样，可以给近期数据较大的权数，以使预测模型更好地适序列趋势的变化。

统计软件中可以根据拟合误差的大小自动筛选最优的平滑系数值。

初始预测值的确定

初始预测值的确定

等于第一个观测值

等于前k个值的算术平均

适用场合：单参数(一次)指数平滑适用于不包含长期趋势和季节成分的平稳时间序列预测

案例分析

新卫机械厂销售额的单参数指数平滑预测

分析预测创建模型方法选择“指数平滑”;根据需要设置“条件”。

拟合情况与2年的预测值(下页图)。

SPSS  Statistics 估计的a=0.689.

拟合数据的MAPE=12.847%.

单参数指数平滑的图形结果

8.2.2 双参数指数平滑

双参数指数平滑包含两个平滑参数

适用于包含长期趋势、不包含季节成分的时间序列预测。

其基本思想是：首先对序列选定其随时间变化的线性模型，再通过对序列水平和增长量分别进行平滑来估计模型中的参数。

双参数指数平滑模型

第一个平滑方程得到原序列经趋势调整的平滑值，第二个平滑方程是对增量进行指数平滑。初始值取为:

应用实例

利用指数平滑法对我国人均原油产量(单位：公斤/人)进行预测。 。

从图形看具有增长 趋势，可以用双参数 指数平滑法进行 预测。

应用实例

软件操作：分析预测创建模型方法选择“指数平滑”;根据需要设置“条件”(选择Holt线性趋势模型)

由SPSS软件搜索出的最终平滑系数   、  ，分别为1.00和0.001，预测2007-2010年我国人均原油产量的预测值分别为：

141.74   142.56  143.37   144.18

图形

双参数指数平滑预测新卫机械厂的销售收入

估计的a=0.018，b=0.000.

历史数据MAPE=9.837%.

预测图形

8.2.3  三参数指数平滑

对于包含季节变动(和长期趋势)的时间序列进行预测常用温特(Winter)指数平滑法。

该法包含三个平滑系数，是依据时间序列的乘法(或加法)结构模型，在每一步平滑中将原始时间序列分解成趋势成分和季节成分并对它们分别进行平滑。

三参数指数平滑模型

预测公式 (L为季节长度)

例子：销售额时间序列

某企业1990-2002年各月销售额数据。

Example : 销售额时间序列的温特指数平滑预测

软件操作：分析预测创建模型方法选择“指数平滑”; 设置“条件”，选择季节性模型中的“Winter(冬季)加法或乘法模型)，这里选的是乘法模型。

从图形看拟合效果很好。

Example : 销售额时间序列的温特指数平滑预测

8.3  ARIMA模型

8.2.1  平稳时间序列模型 (ARMA模型)

8.2.2  ARIMA模型

ARIMA:  Autoregressive Integrated Moving Average

时间序列的平稳性

随机时间序列分析的一个重要概念是平稳性。

时间序列平稳性的直观含义是指时间序列没有明显的长期趋势、循环变动和季节变动。

从统计意义上讲，如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻满足：(1)均值为常数；(2)协方差仅与时间间隔有关，则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。

时间序列的平稳性(图形)

1 平稳时间序列模型

(1)ARMA模型的基本形式

P阶自回归(Autoregressive)模型－AR(p)

平稳时间序列模型

滑动平均(Moving Average)模型-MA(q)

自回归滑动平均(Autoregressive and Moving Average)模型  ARMA(p,q)

一个模拟的AR(1)序列

一个模拟的MA(1)序列

有均值项的ARMA模型

对于均值是否为零未知的情况下，建模时需要给ARMA模型加上一个均值项。

AR模型：

MA模型

ARMA模型

(2) ARMA模型的识别与估计

Box-Jenkins 的模型识别方法：

根据ACF和PACF确定模型的形式。

自相关函数(ACF)描述时间序列观测值与其过去的观测值之间的线性相关性。

偏自相关函数(PACF)描述在给定中间观测值的条件下时间序列观测值与其过去的观测值之间的线性相关性。

Box-Jenkins 的模型识别方法

Example：一个零均值时间序列

一个零均值时间序列的ACF和PACF

模型阶数的确定

对于AR或MA模型，利用ACF和PACF判定模型类型的同时也就初步断定了模型的阶数。

对于ARMA模型来说，用ACF和PACF判定其阶次有一定的困难。此时可以借助于下面介绍的信息准则。

模型阶数的确定(ARMA)*

实际中常用的准则函数是AIC信息准则和BIC信息准则(也称为Schwarz信息准则，记为SIC)，使准则函数达到极小的是最佳模型。

是对序列拟合ARMA(p,q)模型的残差方差，N为观测值的个数。相对于AIC信息准则，BIC信息准则更多的考虑了模型的参数个数。 ?

ARMA模型的参数估计

对时间序列所适合的ARMA模型进行初步识别后，接下来就需要估计出其中的参数，以便进一步识别和应用模型。

主要的参数估计方法有矩估计法、最小二乘估计法和极大似然估计法等，一般都由计算机软件实现，这里不作介绍。

(3)ARMA模型的适应性检验

模型的适应性检验主要是残差序列的独立性检验。残差序列可由估计出来的模型计算得到。如果残差序列的自相关函数不显著非零，可以认为是独立的。

例1：AR模型

对前面例子，由SPSS可以得到参数估计，模型表达式为：

括号中为参数的t检验值，各参数都是显著的。

例1：AR模型

由下图可以看出残差不存在显著的自相关性，可以认为是独立的，因而模型是适应的。

例2：MA模型

根据某化学过程读数拟合ARMA模型。

例2：MA模型

ACF                                       PACF

根据ACF可以尝试MA(2)模型

根据PACF可以尝试AR(1)模型

MA(2)模型

模型的正态化的BIC=4.969

R2=0.179

MA(2)的拟合效果图

残差自相关图(MA(2)模型)

根据残差自相关图判断MA(2)模型是适合的。

建立AR(1)模型的结果

也就是

模型的正态化的BIC=4.91；R2=0.166

根据BIC分析 AR(1)要好一点。

AR(1)的拟合效果图

残差自相关图(AR(1)模型)

根据残差自相关图判断AR(1)模型是适合的。

8.2.2  ARIMA模型

在实际问题中我们常遇到的序列，特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，而是呈现出明显的趋势性或季节性。

对于有趋势性时间序列通常采用ARIMA模型进行分析。

对于有季节性的时间序列可以采用乘积季节ARIMA模型进行预测。由于这类模型比较复杂，本课程不做介绍。

差分(Difference)运算

ARIMA模型需要用到差分工具。用原序列的每一个观测值减去其前面的一个观测值，就形成原序列的一阶差分序列：

对一阶差分后的序列再进行一次差分运算，称为二阶差分。

差分(Difference)运算

一阶差分可以消除原序列存在的线性趋势。有时候需要进行高阶差分才能够使得变换后的时间序列平稳。

大部分经济时间序列进行一阶或二阶差分后都可以变为平稳序列。

对有季节性的时间序列，进行季节差分(当年的可以消除季节成分：

ARIMA模型

一般地，如果d阶差分序列            是平稳的，并且适合ARMA(p,q)模型，即

也就是

因为求和是差分运算的反运算，所以该模型称为求和自回归滑动平均模型，记为 ARIMA(p,d,q)。

Example8.4：某中部省会城市房地产价格数据

ARIMA模型例子

差分后序列的自相关和偏自相关函数如下图所示。可以看出ACF第一个后截尾，PACF呈拖尾状，初步判定差分后序列适合MA(1)模型，即原序列适合ARIMA(0,1,1)模型。

由SPSS得到参数估计

BIC=10.763

模型的残差自相关

下图为残差序列的自相关函数，可以认为是独立的，对房地产价格数据建立的ARIMA(0,1,1)模型是适应的。

实际值、拟合值以及预测值图示

ARIMA(1,1,0)模型

BIC=10.838，略高于ARIMA(0,1,1)。

模型的残差自相关(ARIMA(1,1,0)

下图为残差序列的自相关函数，可以认为是独立的，对房地产价格数据建立的ARIMA(1，1，0)模型是适应的。

实际值、拟合值以及预测值图示

SPSS Statistics 可以自动选择p, d, p的值

在实际应用中，可以让SPSS 软件根据设定的规则自动筛选“最优”的模型。

在“方法”中选择“专家建模器”，在“条件”中选择ARIMA模型。

在例8.4中， 不指定p d q的值，SPSS Statistics 选择的是ARIMA(0,1,1)模型。

关于统计预测的几点说明

本章小结

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